Степени

Степень числа — это компактная запись повторяющегося умножения одного числа на само себя. Возведение в степень позволяет быстро вычислять результаты таких операций и широко используется в алгебре, геометрии, физике и других областях.

Определение

Число $aa$ в степени $nn$ записывается как: $aa$^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$aa$ где: $aa$ — основание степени, $nn$ — показатель степени.

Примеры:

• $2^3=2\cdot 2\cdot 2=82^3\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 2\; =\; 8$.
• $5^2=5\cdot 5=255^2\; =\; 5\; \backslash cdot\; 5\; =\; 25$.

Типы степеней

1. Положительная степень:$a^n,n>0a^n,\; \backslash quad\; n\; >\; 0$

Пример:

ер: $3^4=813^4\; =\; 81$.

2. Нулевая степень:$a^0=1,a\mathrm{\ne }0a^0\; =\; 1,\; \backslash quad\; a\; \backslash neq\; 0$

Пример:

ер: $7^0=17^0\; =\; 1$.

3. Отрицательная степень:$a^{-n}=\frac{1}{a^n},a\mathrm{\ne }0a^\{-n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{a^n\},\; \backslash quad\; a\; \backslash neq\; 0$

Пример:

ер: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}2^\{-3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$.

Свойства степеней

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}a^m\; \backslash cdot\; a^n\; =\; a^\{m+n\}$

Пример:

$3^2\cdot 3^3=3^{2+3}=3^5=2433^2\; \backslash cdot\; 3^3\; =\; 3^\{2+3\}\; =\; 3^5\; =\; 243$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $a^m÷a^n=a^{m-n},m>na^m\; \backslash div\; a^n\; =\; a^\{m-n\},\; \backslash quad\; m\; >\; n$

Пример:

$5^4÷5^2=5^{4-2}=5^2=255^4\; \backslash div\; 5^2\; =\; 5^\{4-2\}\; =\; 5^2\; =\; 25$.

3. Возведение степени в степень: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}(a^m)^n\; =\; a^\{m\; \backslash cdot\; n\}$

Пример:

$(2^3{)}^2=2^{3\cdot 2}=2^6=64(2^3)^2\; =\; 2^\{3\; \backslash cdot\; 2\}\; =\; 2^6\; =\; 64$.

4. Умножение степеней с разными основаниями, но одинаковым показателем: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n(a\; \backslash cdot\; b)^n\; =\; a^n\; \backslash cdot\; b^n$

Пример:

$(2\cdot 3{)}^2=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36(2\; \backslash cdot\; 3)^2\; =\; 2^2\; \backslash cdot\; 3^2\; =\; 4\; \backslash cdot\; 9\; =\; 36$.

5. Дробные степени: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}a^\{\backslash frac\{1\}\{n\}\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a\},\; \backslash quad\; a^\{\backslash frac\{m\}\{n\}\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a^m\}$

Пример:

$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=28^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; =\; \backslash sqrt[3]\{8\}\; =\; 2$, $16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=816^\{\backslash frac\{3\}\{4\}\}\; =\; (\backslash sqrt[4]\{16\})^3\; =\; 2^3\; =\; 8$.

Особые случаи

1. Единица в любой степени:$1^n=11^n\; =\; 1$

Пример:

ер: $1^{10}=11^\{10\}\; =\; 1$.

2. Ноль в степени:$0^n=0,n>00^n\; =\; 0,\; \backslash quad\; n\; >\; 0$

Пример:

ер: $0^5=00^5\; =\; 0$.

3. Степень с основанием $-1-1$:
   • Если $nn$ четное: $(-1{)}^n=1(-1)^n\; =\; 1$.
   • Если $nn$ нечетное: $(-1{)}^n=-1(-1)^n\; =\; -1$.

Примеры:

ры: $(-1{)}^4=1(-1)^4\; =\; 1$, $(-1{)}^3=-1(-1)^3\; =\; -1$.

Примеры из жизни

1. Геометрия: Площадь квадрата ($a^{2}a^2$) и объем куба ($a^{3}a^3$).

2. Физика: Вычисление энергии по формуле $E=m{c}^{2}E\; =\; mc^2$.

3. Экономика: Расчет сложных процентов по формуле $P=P_0(1+r{)}^{n}P\; =\; P\_0\; (1\; +\; r)^n$.

Задачи для закрепления

1. Вычислите:

   • $3^{4}3^4$
   • $2^{-3}2^\{-3\}$
   • $5^{0}5^0$

2. Упростите:

   • $4^3\cdot 4^{2}4^3\; \backslash cdot\; 4^2$
   • $7^5÷7^{2}7^5\; \backslash div\; 7^2$
   • $(2^3{)}^2(2^3)^2$

3. Найдите дробную степень:

   • $9^{\frac{1}{2}}9^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$
   • $27^{\frac{2}{3}}27^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}$