Сумма кубов

Сумма кубов — это формула сокращённого умножения, которая позволяет разложить сумму кубов двух выражений на произведение. Эта формула упрощает алгебраические преобразования и разложение на множители.

Формула

Формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3\; +\; b^3\; =\; (a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$, где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Сначала запишем сумму кубов:

Теперь представим её как произведение:

Если раскрыть правую часть, мы получим:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Разложим $8+278\; +\; 27$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Разложим $x^3+8x^3\; +\; 8$:

Пример 3: Сложное выражение

Разложим $27a^3+64b^{3}27a^3\; +\; 64b^3$:

Свойства

1. Разложение суммы кубов:

   • Формула применима к любым числам, переменным или выражениям.
   • Сумма кубов всегда раскладывается на два множителя.

2. Обратимость:

   • Формулу можно использовать в обратном направлении для раскрытия скобок.

3. Работа с отрицательными числами:

   • Если , формула превращается в разность кубов:

Примеры из жизни

1. Геометрия:

   • Расчёт суммы объёмов двух кубов: $V=a^3+b^{3}V\; =\; a^3\; +\; b^3$.

2. Физика:

   • Применение в формулах для расчёта суммарных величин.

3. Экономика:

   • Использование для вычисления показателей роста в кубической зависимости.

Задачи для закрепления

1. Разложите на множители:

   $x^3+27,8a^3+b^3\mathrm{.}x^3\; +\; 27,\; \backslash quad\; 8a^3\; +\; b^3.$

2. Упростите выражение:

   $(x+2)(x^2-2x+4)\mathrm{.}(x\; +\; 2)(x^2\; -\; 2x\; +\; 4).$

3. Найдите значение:

   $125+27.125\; +\; 27.$

4. Разложите на множители:

   $64a^3+343b^3\mathrm{.}64a^3\; +\; 343b^3.$