Рациональные числа

Рациональные числа являются важным расширением множества целых чисел. Они позволяют записывать дробные значения, которые встречаются повсеместно в математике и реальной жизни: измерение длины, времени, скорости, пропорции и многого другого.

Определение

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$, где:

• $pp$ — целое число (числитель).

• $qq$ — натуральное число (знаменатель, $q\mathrm{\ne }0q\; \backslash neq\; 0$).

Множество рациональных чисел обозначается буквой Q (от слова quotient — частное).

Примеры рациональных чисел

• $33$ (можно записать как $\frac{3}{1}\backslash frac\{3\}\{1\}$)

• $-7-7$ (можно записать как $\frac{-7}{1}\backslash frac\{-7\}\{1\}$)

• $\frac{5}{2}\backslash frac\{5\}\{2\}$ (дробь)

• $0.250.25$ (равно $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$)

Примеры нерациональных чисел

• Корень квадратный - $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$

• Число Пи - $\pi \backslash pi$

• Число Е - $ee$

Эти числа называются иррациональными и не могут быть представлены в виде дроби.

Свойства рациональных чисел

1. Замкнутость:

   • Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

2. Ассоциативность:

   • $(a+b)+c=a+(b+c)(a\; +\; b)\; +\; c\; =\; a\; +\; (b\; +\; c)$;
   • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)(a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash cdot\; c\; =\; a\; \backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; c)$

3. Коммутативность:

   • $a+b=b+aa\; +\; b\; =\; b\; +\; a$;
   • $a\cdot b=b\cdot aa\; \backslash cdot\; b\; =\; b\; \backslash cdot\; a$

4. Распределительное свойство:

   • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot ca\; \backslash cdot\; (b\; +\; c)\; =\; a\; \backslash cdot\; b\; +\; a\; \backslash cdot\; c$

5. Делимость:

   • Рациональное число делится на любое ненулевое рациональное число, результат также будет рациональным.

Операции над рациональными числами

Сложение и вычитание

Для выполнения сложения или вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю.

Пример:

Умножение

Числители умножаются на числители, знаменатели — на знаменатели.

Пример:

Деление

При делении дробей умножаем первую дробь на обратную второй.

Пример:

Математические Формулы

Пример встроенной формулы

Это пример встроенной математической формулы: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; 4ac\}\}\{2a\}$.

Пример блочной формулы

Вот пример блочной математической формулы:

Примеры из жизни

• Половина пиццы можно записать как $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$.

• Четверть литра воды — $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$ литра.

• Время 1 час 30 минут — это $1.51.5$ часа или $\frac{3}{2}\backslash frac\{3\}\{2\}$ часа.

Задачи для закрепления

1. Найдите сумму $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}\backslash frac\{3\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{5\}$.

2. Умножьте $\frac{-2}{7}\backslash frac\{-2\}\{7\}$ на $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$.

3. Разделите $\frac{5}{6}\backslash frac\{5\}\{6\}$ на $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$.

4. Упростите $\frac{8}{12}\backslash frac\{8\}\{12\}$ до несократимой дроби.