Десятичная дробь

Десятичная дробь — это форма записи дробей, где знаменатель является степенью десяти (например, $10,100,100010,\; 100,\; 1000$). Десятичные дроби представляют части целого числа и широко используются в математике, науке, инженерии и повседневной жизни.

Десятичные дроби записываются с помощью запятой (в русском языке) или точки (в международной нотации). Например, $0.50.5$, $3.143.14$, $2.752.75$.

Определение

Десятичная дробь — это дробь, которую можно записать в виде: $a\mathrm{.}ba.b$ где:

• $aa$ — целая часть,

• $bb$ — дробная часть.

Пример:

$3.253.25$, где $33$ — целая часть, а $2525$ — дробная.

Типы десятичных дробей

1. Конечные десятичные дроби:
   • Это дроби с конечным количеством цифр после запятой.

Пример:

$0.5,1.75,3.1410.5,\; 1.75,\; 3.141$.

2. Бесконечные десятичные дроби:
   • Это дроби с бесконечным количеством цифр после запятой.

Пример:

$0.333\dots 0.333\backslash ldots$ (периодическая), $0.101001000\dots 0.101001000\backslash ldots$ (непериодическая).

3. Периодические десятичные дроби:
   • Это дроби, где повторяется определенная последовательность цифр.

Пример:

$0.666\dots =0.\bar{6}0.666\backslash ldots\; =\; 0.\backslash overline\{6\}$.

4. Непериодические десятичные дроби:
   • Это дроби, у которых нет повторяющегося периода.

Пример:

$0.101001000\dots 0.101001000\backslash ldots$ (иррациональные числа, например $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$).

Преобразования десятичных дробей

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Для преобразования выполните следующие шаги:

1. Умножьте дробь на $10^{n}10^n$, где $nn$ — количество цифр после запятой.
2. Запишите дробь в виде обыкновенной.
3. Сократите дробь, если это возможно.

Пример:

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

1. Разделите числитель на знаменатель.
2. Результат будет десятичным числом.

Пример:

Операции с десятичными дробями

Сложение и вычитание

1. Выровняйте десятичные дроби по запятой.
2. Выполните сложение или вычитание.

Пример:

Умножение

1. Умножьте числа, игнорируя запятые.
2. Поставьте запятую в результате так, чтобы общее количество знаков после запятой совпадало с исходным.

Пример:

Деление

1. Умножьте делимое и делитель на $10^{n}10^n$, чтобы избавиться от запятой в делителе.
2. Выполните деление.

Пример:

Свойства десятичных дробей

1. Замкнутость: Десятичные дроби замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на $00$).

2. Плотность: Между любыми двумя десятичными дробями существует бесконечно много других дробей.

3. Удобство представления: Десятичные дроби позволяют легко представлять части целого числа, что делает их удобными в вычислениях.

Примеры из жизни

1. Вес продуктов ($2.52.5$ кг, $1.751.75$ л).

2. Денежные расчеты (цены, сдача, проценты).

3. Измерения (длина, ширина, высота).

Задачи для закрепления

1. Преобразуйте в обыкновенную дробь:

   • $0.750.75$, $0.20.2$, $1.251.25$.

2. Найдите сумму: $2.5+1.752.5\; +\; 1.75$.

3. Умножьте: $1.2\cdot 3.51.2\; \backslash cdot\; 3.5$.

4. Разделите: $4.5÷0.754.5\; \backslash div\; 0.75$.

5. Преобразуйте $\frac{7}{8}\backslash frac\{7\}\{8\}$ в десятичную дробь.