Основные

Курсы

Другое

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения — это уравнения вида: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , где: $a, b, c$ — коэффициенты, $a \neq 0$ , переменная $x$ находится только в четвёртой ( $x^{4}$ ) и второй ( $x^{2}$ ) степенях.

Решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения с заменой переменной.

Алгоритм решения

Шаг 1: Замена переменной

Пусть:

t = x^2, \quad t \geq 0.

Тогда биквадратное уравнение превращается в квадратное относительно $t$ :

a t^{2} + b t + c = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Решите квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^{2} - 4 a c .

Если $D > 0$ , уравнение имеет два различных корня $t_{1}$ и $t_{2}$ .
Если $D = 0$ , уравнение имеет один корень $t_{1}$ .
Если $D < 0$ , уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 3: Вернуться к переменной $x$

Для каждого положительного корня $t$ решите уравнение:

x^{2} = t .

Корни $t < 0$ исключаются, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Шаг 4: Найти корни $x$

Для каждого $t \geq 0$ найдите $x$ :

x = \pm\sqrt{t}.

Примеры решения

Пример 1

Решим уравнение:

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0.

Шаг 1: Замена переменной:

t = x^{2} .

Тогда уравнение становится:

t^{2} - 5 t + 4 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9.

Корни:

t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1.

Шаг 3: Вернуться к $x$ : Для $t_{1} = 4$ :

x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.

Для $t_{2} = 1$ :

x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.

Ответ:

x = \pm 2, \, x = \pm 1.

Пример 2