График функции

Определение

График функции — это множество точек на координатной плоскости, каждая из которых соответствует значению аргумента $xx$ и его соответствующему значению $y=f(x)y\; =\; f(x)$.

Каждая точка графика имеет координаты $(x,y)(x,\; y)$, где $xx$ — это аргумент, а $y=f(x)y\; =\; f(x)$ — значение функции.

Способы построения графика функции

1. Табличный способ:

   • Задайте несколько значений $xx$.
   • Найдите соответствующие значения $yy$.
   • Постройте точки $(x,y)(x,\; y)$ на координатной плоскости.
   • Соедините точки линией (если функция непрерывна).

2. Аналитический способ:

   • Используйте свойства функции, такие как:
     • Нули функции ($f(x)=0f(x)\; =\; 0$),
     • Поведение на краях области определения,
     • Симметрия,
     • Возрастание или убывание.

3. Использование формул:

   • Учитывайте особенности конкретной функции (линейной, квадратичной, дробной и т. д.).

Примеры графиков

1. Линейная функция

Функция вида:

• График: прямая линия.
• Коэффициент $kk$ отвечает за наклон:
  • Если $k>0k\; >\; 0$, линия возрастает.
  • Если , линия убывает.
• Коэффициент $bb$ показывает точку пересечения с осью $yy$.

Пример:

График проходит через точки:

• $(0,1)(0,\; 1)$ (при $x=0x\; =\; 0$),
• $(1,3)(1,\; 3)$ (при $x=1x\; =\; 1$).

2. Квадратичная функция

Функция вида:

• График: парабола.
• Если $a>0a\; >\; 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если , ветви параболы направлены вниз.

Пример:

Координаты вершины параболы:

График проходит через точки:

• $(1,0)(1,\; 0)$ и $(3,0)(3,\; 0)$ (нули функции).

3. Дробная функция

Функция вида:

• График: гипербола.
• Функция определена для всех $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$.
• Симметрия относительно начала координат.

Пример:

График состоит из двух ветвей:

• При $x>0x\; >\; 0$, $f(x)>0f(x)\; >\; 0$.
• При , .

4. Функция с корнем

Функция вида:

• Определена только для $x\ge 0x\; \backslash geq\; 0$.
• График начинается в точке $(0,0)(0,\; 0)$ и возрастает.

Пример:

График проходит через точки:

• $(0,0)(0,\; 0)$,
• $(1,1)(1,\; 1)$,
• $(4,2)(4,\; 2)$.

Симметрия графиков

1. Чётная функция:

   • Условие: $f(-x)=f(x)f(-x)\; =\; f(x)$.
   • График симметричен относительно оси $yy$.

   Пример:

   $f(x)=x^2\mathrm{.}f(x)\; =\; x^2.$

2. Нечётная функция:

   • Условие: $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$.
   • График симметричен относительно начала координат.

   Пример:

   $f(x)=x^3\mathrm{.}f(x)\; =\; x^3.$

Примеры построения графиков

Пример 1: Линейная функция

Построим график функции:

1. Найдём точки:

   • Для $x=0x\; =\; 0$: $f(0)=-2\Rightarrow (0,-2)f(0)\; =\; -2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; -2)$.
   • Для $x=2x\; =\; 2$: $f(2)=3\cdot 2-2=4\Rightarrow (2,4)f(2)\; =\; 3\; \backslash cdot\; 2\; -\; 2\; =\; 4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (2,\; 4)$.

2. Соединяем точки $(0,-2)(0,\; -2)$ и $(2,4)(2,\; 4)$ прямой линией.

Пример 2: Квадратичная функция

Построим график функции:

1. Найдём вершину:

   $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1.x\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}\; =\; -\backslash frac\{-2\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 1.$$f(1)=1^2-2\cdot 1-3=-4\Rightarrow (1,-4)\mathrm{.}f(1)\; =\; 1^2\; -\; 2\; \backslash cdot\; 1\; -\; 3\; =\; -4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (1,\; -4).$

2. Найдём нули функции:

   $x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0.x^2\; -\; 2x\; -\; 3\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (x\; -\; 3)(x\; +\; 1)\; =\; 0.$

   Нули: $x=3x\; =\; 3$ и $x=-1x\; =\; -1$.

3. Строим график, учитывая точки: $(-1,0)(-1,\; 0)$, $(1,-4)(1,\; -4)$, $(3,0)(3,\; 0)$.

Пример 3: Функция с корнем

Построим график функции:

1. Область определения:

   $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1.x\; -\; 1\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 1.$

2. Найдём точки:

   • Для $x=1x\; =\; 1$: $f(1)=\sqrt{1-1}=0\Rightarrow (1,0)f(1)\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; 1\}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (1,\; 0)$.
   • Для $x=5x\; =\; 5$: $f(5)=\sqrt{5-1}=2\Rightarrow (5,2)f(5)\; =\; \backslash sqrt\{5\; -\; 1\}\; =\; 2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (5,\; 2)$.

3. Строим график, начиная с точки $(1,0)(1,\; 0)$ и рисуя плавную кривую вверх.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=2x+1.f(x)\; =\; 2x\; +\; 1.$

2. Найдите координаты вершины параболы и построите график:

   $f(x)=x^2-6x+8.f(x)\; =\; x^2\; -\; 6x\; +\; 8.$

3. Постройте график дробной функции:

   $f(x)=\frac{2}{x+1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{2\}\{x\; +\; 1\}.$

4. Постройте график функции:

   $f(x)=\sqrt{x+3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; +\; 3\}.$