Математика Уравнение

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие логарифмы переменных. Их решение основывается на свойствах логарифмов и преобразованиях. Такие уравнения широко применяются в математике, физике и других науках.

Определение

Логарифмическое уравнение записывается в общем виде: log⁡af(x)=g(x)\log_a f(x) = g(x), где: a>0,a≠1a > 0, a \neq 1 — основание логарифма, f(x)f(x) и g(x)g(x) — выражения, содержащие переменные.

Пример:

log⁡2(x+3)=4.\log_2(x + 3) = 4.

Методы решения логарифмических уравнений

1. Преобразование в показательную форму

Используем основное определение логарифма:

log⁡ab=c⇒ac=b.\log_a b = c \quad \Rightarrow \quad a^c = b.

Пример:

log⁡2(x+3)=4.\log_2(x + 3) = 4.

Преобразуем:

x+3=24⇒x+3=16⇒x=13.x + 3 = 2^4 \quad \Rightarrow \quad x + 3 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 13.

2. Логарифмирование

Если в уравнении переменные находятся в степенях, можно взять логарифм обеих частей:

af(x)=b⇒log⁡a(af(x))=log⁡ab.a^{f(x)} = b \quad \Rightarrow \quad \log_a(a^{f(x)}) = \log_a b.

Пример:

2x=8.2^x = 8.

Берём логарифм:

log⁡2(2x)=log⁡28⇒x=3.\log_2(2^x) = \log_2 8 \quad \Rightarrow \quad x = 3.

3. Сведение к одному основанию

Если уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, их приводят к одному основанию с использованием формулы:

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca.\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.

Пример:

log⁡2x=log⁡4(x−1).\log_2 x = \log_4(x - 1).

Преобразуем:

log⁡2x=log⁡2(x−1)log⁡24⇒log⁡2x=log⁡2(x−1)2.\log_2 x = \frac{\log_2(x - 1)}{\log_2 4} \quad \Rightarrow \quad \log_2 x = \frac{\log_2(x - 1)}{2}.

Умножим на 22:

2log⁡2x=log⁡2(x−1).2\log_2 x = \log_2(x - 1).

Используем свойство логарифмов:

log⁡2x2=log⁡2(x−1)⇒x2=x−1.\log_2 x^2 = \log_2(x - 1) \quad \Rightarrow \quad x^2 = x - 1.

Решаем квадратное уравнение:

x2−x+1=0.x^2 - x + 1 = 0.

4. Применение свойств логарифмов

Используются свойства:

  1. log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y.
  2. log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y.
  3. log⁡a(xk)=klog⁡ax\log_a(x^k) = k\log_a x.

Пример:

log⁡2(x)+log⁡2(4)=5.\log_2(x) + \log_2(4) = 5.

Применяем свойства:

log⁡2(4x)=5⇒4x=25⇒x=8.\log_2(4x) = 5 \quad \Rightarrow \quad 4x = 2^5 \quad \Rightarrow \quad x = 8.

Область допустимых значений (ОДЗ)

В логарифмических уравнениях аргумент логарифма должен быть положительным:

f(x)>0.f(x) > 0.

Пример:

log⁡2(x−1)=3.\log_2(x - 1) = 3.

ОДЗ:

x−1>0⇒x>1.x - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1.

Особые случаи

  1. Уравнение имеет одно решение:

    log⁡2x=3⇒x=8.\log_2 x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 8.

  2. Уравнение имеет несколько решений:

    log⁡2(x2)=4⇒x2=16⇒x=±4.\log_2(x^2) = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4.

  3. Уравнение не имеет решений:

    log⁡2(−x)=3⇒нет решений, так как аргумент логарифма должен быть положительным.\log_2(-x) = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{нет решений, так как аргумент логарифма должен быть положительным}.

Примеры из жизни

  1. Физика:
    • Закон радиоактивного распада:
N=N0e−λt⇒t=log⁡(N/N0)−λ.N = N_0e^{-\lambda t} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\log(N/N_0)}{-\lambda}.
  1. Экономика:
    • Сложные проценты:
A=P(1+r)t⇒t=log⁡(A/P)log⁡(1+r).A = P(1 + r)^t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\log(A/P)}{\log(1 + r)}.
  1. Информатика:
    • Оценка сложности алгоритмов (логарифмическая сложность).

Задачи для закрепления

  1. Решите уравнение:

    log⁡3(x+2)=4.\log_3(x + 2) = 4.

  2. Найдите xx:

    log⁡2(x)+log⁡2(4)=6.\log_2(x) + \log_2(4) = 6.

  3. Примените свойства логарифмов и решите: $$ \log_