Делимость чисел, простые и составные числа

Делимость чисел — это одна из фундаментальных тем в арифметике, которая изучает, когда одно число делится на другое без остатка. Эта концепция лежит в основе определения простых и составных чисел.

Делимость чисел

Число $aa$ делится на число $bb$, если результат деления $a÷ba\; \backslash div\; b$ является целым числом, и остаток равен $00$:

Запись: $aa$ делится на $bb$ обозначается как $aba\; \backslash vdots\; b$.

Пример:

• $12÷3=412\; \backslash div\; 3\; =\; 4$, остаток $00$, значит $12312\; \backslash vdots\; 3$.

Признаки делимости

1. На $22$: Число делится на $22$, если оно четное (оканчивается на $0,2,4,6,80,\; 2,\; 4,\; 6,\; 8$).

   • Пример: $48248\; \backslash vdots\; 2$.

2. На $33$: Число делится на $33$, если сумма его цифр делится на $33$.

   • Пример: $123123$, $1+2+3=631\; +\; 2\; +\; 3\; =\; 6\; \backslash vdots\; 3$.

3. На $55$: Число делится на $55$, если оно оканчивается на $00$ или $55$.

   • Пример: $35535\; \backslash vdots\; 5$.

4. На $99$: Число делится на $99$, если сумма его цифр делится на $99$.

   • Пример: $729729$, $7+2+9=1897\; +\; 2\; +\; 9\; =\; 18\; \backslash vdots\; 9$.

5. На $1010$: Число делится на $1010$, если оно оканчивается на $00$.

   • Пример: $12010120\; \backslash vdots\; 10$.

Простое число

Простое число — это натуральное число больше $11$, которое имеет ровно два делителя: $11$ и само себя.

Примеры:

• $2,3,5,7,11,13,17,\dots 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; \backslash dots$

Свойства простых чисел

1. $22$ — единственное четное простое число.

2. Все остальные простые числа — нечетные.

3. Простые числа используются для факторизации и криптографии.

Составное число

Составное число — это натуральное число больше $11$, которое имеет больше двух делителей.

Примеры:

• $4,6,8,9,10,12,\dots 4,\; 6,\; 8,\; 9,\; 10,\; 12,\; \backslash dots$

Свойства составных чисел

1. Составные числа всегда можно разложить на простые множители.

   • Пример: $12=2\cdot 2\cdot 312\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3$.

2. Число $11$ не является ни простым, ни составным.

Основная теорема арифметики

Любое натуральное число больше $11$ можно однозначно разложить на произведение простых чисел.

Пример:

Нахождение простых чисел: Решето Эратосфена

Метод для нахождения простых чисел:

1. Запишите все натуральные числа от $22$ до $nn$.

2. Исключите все числа, кратные $22$, кроме самого $22$.

3. Исключите все числа, кратные $33$, кроме самого $33$.

4. Продолжайте до $\sqrt{n}\backslash sqrt\{n\}$.

5. Оставшиеся числа — простые.

Пример: Для $n=30n\; =\; 30$:

• Простые числа: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,292,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23,\; 29$.

Примеры из жизни

1. Криптография: Простые числа используются в шифровании (RSA).

2. Факторизация: Разложение чисел для упрощения расчетов.

3. Анализ делимости: Проверка равенства долей или распределения.

Задачи для закрепления

1. Найдите простые числа от $11$ до $5050$.

2. Проверьте, делится ли $234234$ на $33$.

3. Разложите $8484$ на простые множители.

4. Определите, является ли число $9797$ простым или составным.

5. Сколько делителей у числа $3636$?