Степени и корни

Степени и корни — это базовые математические операции, которые широко используются в алгебре, геометрии, физике и других науках. Возведение в степень позволяет компактно записывать повторяющееся умножение, а извлечение корня — решать обратную задачу.

Степень числа

Возведение числа в степень — это операция, при которой число умножается само на себя определённое количество раз.

Формула:

где: $aa$ — основание степени, $nn$ — показатель степени.

Пример:

Свойства степеней

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}a^m\; \backslash cdot\; a^n\; =\; a^\{m+n\}$

Пример: $2^3\cdot 2^2=2^{3+2}=2^5=322^3\; \backslash cdot\; 2^2\; =\; 2^\{3+2\}\; =\; 2^5\; =\; 32$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием:$a^m÷a^n=a^{m-n},m>na^m\; \backslash div\; a^n\; =\; a^\{m-n\},\; \backslash quad\; m\; >\; n$

Пример: $2^5÷2^2=2^{5-2}=2^3=82^5\; \backslash div\; 2^2\; =\; 2^\{5-2\}\; =\; 2^3\; =\; 8$.

3. Возведение степени в степень: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}(a^m)^n\; =\; a^\{m\; \backslash cdot\; n\}$

Пример: $(2^3{)}^2=2^{3\cdot 2}=2^6=64(2^3)^2\; =\; 2^\{3\; \backslash cdot\; 2\}\; =\; 2^6\; =\; 64$.

4. Умножение степеней с разными основаниями, но одинаковым показателем: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n(a\; \backslash cdot\; b)^n\; =\; a^n\; \backslash cdot\; b^n$

Пример: $(2\cdot 3{)}^2=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36(2\; \backslash cdot\; 3)^2\; =\; 2^2\; \backslash cdot\; 3^2\; =\; 4\; \backslash cdot\; 9\; =\; 36$.

5. Возведение числа в степень $00$: $a^0=1,a\mathrm{\ne }0a^0\; =\; 1,\; \backslash quad\; a\; \backslash neq\; 0$

Пример: $5^0=15^0\; =\; 1$.

Корень числа

Корень — это операция, обратная возведению в степень. Корень $nn$-ой степени из числа $aa$ равен числу $bb$, если $b^n=ab^n\; =\; a$.

Формула:

где:

• $nn$ — степень корня,
• $aa$ — подкоренное выражение.

Пример:

Квадратный корень

Квадратный корень — это корень второй степени:

Пример:

Свойства корней

1. Корень из произведения:$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\backslash sqrt[n]\{a\; \backslash cdot\; b\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[n]\{b\}$

Пример: $\sqrt{36\cdot 25}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{25}=6\cdot 5=30\backslash sqrt\{36\; \backslash cdot\; 25\}\; =\; \backslash sqrt\{36\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{25\}\; =\; 6\; \backslash cdot\; 5\; =\; 30$.

2. Корень из дроби:$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\backslash sqrt[n]\{\backslash frac\{a\}\{b\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt[n]\{a\}\}\{\backslash sqrt[n]\{b\}\}$

Пример: $\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\frac{7}{5}\backslash sqrt\{\backslash frac\{49\}\{25\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{49\}\}\{\backslash sqrt\{25\}\}\; =\; \backslash frac\{7\}\{5\}$.

3. Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a(\backslash sqrt[n]\{a\})^n\; =\; a$

Пример: $(\sqrt[3]{8}{)}^3=8(\backslash sqrt[3]\{8\})^3\; =\; 8$.

4. Корень из корня:$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\backslash sqrt[m]\{\backslash sqrt[n]\{a\}\}\; =\; \backslash sqrt[m\; \backslash cdot\; n]\{a\}$

Пример: $\sqrt{(\sqrt[3]{27})}=\sqrt[6]{27}\backslash sqrt\{(\backslash sqrt[3]\{27\})\}\; =\; \backslash sqrt[6]\{27\}$.

Примеры из жизни

1. Финансы: Использование степеней для расчета сложных процентов.

2. Геометрия: Квадратный корень применяется для нахождения диагонали прямоугольника.

3. Физика: Формулы с квадратами и корнями, например, вычисление энергии ($E=m{c}^{2}E\; =\; mc^2$).

Задачи для закрепления

1. Найдите: $5^{3}5^3$, $2^{4}2^4$, $\sqrt{64}\backslash sqrt\{64\}$, $\sqrt[3]{125}\backslash sqrt[3]\{125\}$.

2. Упростите: $3^2\cdot 3^{3}3^2\; \backslash cdot\; 3^3$, $4^5÷4^{3}4^5\; \backslash div\; 4^3$.

3. Вычислите корень из произведения: $\sqrt{49\cdot 36}\backslash sqrt\{49\; \backslash cdot\; 36\}$.

4. Преобразуйте $\sqrt[4]{16^2}\backslash sqrt[4]\{16^2\}$.