Корень из числа

Введение

Корень числа — это математическая операция, обратная возведению в степень. Извлечение корня позволяет найти такое число, которое при возведении в заданную степень даёт исходное значение. Корни широко применяются в алгебре, геометрии, физике и других науках.

Определение

Корень $nn$-ой степени из числа $aa$ обозначается как: $\sqrt[n]{a}=b\text{если}{b}^n=a\backslash sqrt[n]\{a\}\; =\; b\; \backslash quad\; \backslash text\{если\}\; \backslash quad\; b^n\; =\; a$ где: $nn$ — степень корня, $aa$ — подкоренное выражение, $bb$ — результат извлечения корня.

Примеры:

• $\sqrt{16}=4\backslash sqrt\{16\}\; =\; 4$, так как $4^2=164^2\; =\; 16$.

• $\sqrt[3]{27}=3\backslash sqrt[3]\{27\}\; =\; 3$, так как $3^3=273^3\; =\; 27$.

Типы корней

1. Квадратный корень ($n=2n\; =\; 2$):$\sqrt{a}=b,\text{если}{b}^2=a\backslash sqrt\{a\}\; =\; b,\; \backslash quad\; \backslash text\{если\}\; \backslash quad\; b^2\; =\; a$

Пример:

ер: $\sqrt{25}=5\backslash sqrt\{25\}\; =\; 5$.

2. Кубический корень ($n=3n\; =\; 3$):$\sqrt[3]{a}=b,\text{если}{b}^3=a\backslash sqrt[3]\{a\}\; =\; b,\; \backslash quad\; \backslash text\{если\}\; \backslash quad\; b^3\; =\; a$

Пример:

ер: $\sqrt[3]{8}=2\backslash sqrt[3]\{8\}\; =\; 2$.

3. Корень четной степени:

   • Если $a\ge 0a\; \backslash geq\; 0$, результат всегда неотрицателен.
   • Если , корень не существует в области действительных чисел.

4. Корень нечетной степени:

   • Может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знака $aa$.

Свойства корней

1. Корень из произведения:$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\backslash sqrt[n]\{a\; \backslash cdot\; b\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[n]\{b\}$

Пример:

ер: $\sqrt{36\cdot 25}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{25}=6\cdot 5=30\backslash sqrt\{36\; \backslash cdot\; 25\}\; =\; \backslash sqrt\{36\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{25\}\; =\; 6\; \backslash cdot\; 5\; =\; 30$.

2. Корень из дроби:$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\backslash sqrt[n]\{\backslash frac\{a\}\{b\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt[n]\{a\}\}\{\backslash sqrt[n]\{b\}\}$

Пример:

ер: $\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}\backslash sqrt\{\backslash frac\{49\}\{16\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{49\}\}\{\backslash sqrt\{16\}\}\; =\; \backslash frac\{7\}\{4\}$.

3. Возведение корня в степень:$(\sqrt[n]{a}{)}^n=a(\backslash sqrt[n]\{a\})^n\; =\; a$

Пример:

ер: $(\sqrt[3]{8}{)}^3=8(\backslash sqrt[3]\{8\})^3\; =\; 8$.

4. Корень из корня:$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\backslash sqrt[m]\{\backslash sqrt[n]\{a\}\}\; =\; \backslash sqrt[m\; \backslash cdot\; n]\{a\}$

Пример:

ер: $\sqrt[2]{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[6]{27}=3\backslash sqrt[2]\{\backslash sqrt[3]\{27\}\}\; =\; \backslash sqrt[6]\{27\}\; =\; 3$.

5. Дробный показатель степени:$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}a^\{\backslash frac\{1\}\{n\}\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a\},\; \backslash quad\; a^\{\backslash frac\{m\}\{n\}\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a^m\}$

Пример:

ер: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=28^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; =\; \backslash sqrt[3]\{8\}\; =\; 2$, $16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=816^\{\backslash frac\{3\}\{4\}\}\; =\; (\backslash sqrt[4]\{16\})^3\; =\; 2^3\; =\; 8$.

Примеры из жизни

1. Геометрия: Нахождение длины стороны квадрата по известной площади ($s=\sqrt{S}s\; =\; \backslash sqrt\{S\}$).

2. Физика: Вычисление скорости по формуле $v=\sqrt{2gh}v\; =\; \backslash sqrt\{2gh\}$.

3. Финансы: Расчёт доходности при сложных процентах.

Задачи для закрепления

1. Найдите:

   • $\sqrt{64}\backslash sqrt\{64\}$
   • $\sqrt[3]{125}\backslash sqrt[3]\{125\}$
   • $\sqrt{\frac{81}{16}}\backslash sqrt\{\backslash frac\{81\}\{16\}\}$.

2. Упростите:

   • $\sqrt{25\cdot 36}\backslash sqrt\{25\; \backslash cdot\; 36\}$
   • $\sqrt{\frac{49}{25}}\backslash sqrt\{\backslash frac\{49\}\{25\}\}$.

3. Вычислите:

   • $16^{\frac{1}{4}}16^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$
   • $27^{\frac{2}{3}}27^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}$.