Арифметические действия с числами

Арифметические действия с числами — это основные математические операции, которые мы используем ежедневно: сложение, вычитание, умножение и деление. Знание свойств этих операций и правил их выполнения является фундаментом для решения задач в различных областях математики и жизни.

Сложение

Сложение — это операция, при которой два или более числа (слагаемые) объединяются в одно (сумма). Операция сложения обозначается знаком “+”.

Примеры:

• $3+5=83\; +\; 5\; =\; 8$
• $-2+7=5-2\; +\; 7\; =\; 5$
• $-4+(-3)=-7-4\; +\; (-3)\; =\; -7$

Свойства сложения:

1. Коммутативность: Порядок слагаемых не влияет на сумму:$a+b=b+aa\; +\; b\; =\; b\; +\; a$
2. Ассоциативность: Скобки не влияют на результат:$(a+b)+c=a+(b+c)(a\; +\; b)\; +\; c\; =\; a\; +\; (b\; +\; c)$
3. Существует нейтральный элемент: Сумма любого числа и нуля равна этому числу:$a+0=aa\; +\; 0\; =\; a$

Вычитание

Вычитание — это операция, при которой из одного числа (уменьшаемого) вычитается другое (вычитаемое). Операция вычитания обозначается знаком “-”.

Примеры:

• $7-3=47\; -\; 3\; =\; 4$
• $5-(-2)=75\; -\; (-2)\; =\; 7$
• $-3-4=-7-3\; -\; 4\; =\; -7$

Свойства вычитания:

1. Не коммутативно: Порядок чисел важен, так как:$a-b\mathrm{\ne }b-aa\; -\; b\; \backslash neq\; b\; -\; a$
2. Не ассоциативно: Скобки могут изменять результат:$(a-b)-c\mathrm{\ne }a-(b-c)(a\; -\; b)\; -\; c\; \backslash neq\; a\; -\; (b\; -\; c)$

Умножение

Умножение — это операция, при которой одно число (множитель) умножается на другое (множитель). Результат умножения называется произведением. Умножение обозначается знаком “×” или просто рядом стоящими числами.

Примеры:

• $3\times 5=153\; \backslash times\; 5\; =\; 15$
• $-2\times 4=-8-2\; \backslash times\; 4\; =\; -8$
• $-3\times (-2)=6-3\; \backslash times\; (-2)\; =\; 6$

Свойства умножения:

1. Коммутативность: Порядок множителей не влияет на произведение:$a\times b=b\times aa\; \backslash times\; b\; =\; b\; \backslash times\; a$
2. Ассоциативность: Скобки не влияют на результат:$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)(a\; \backslash times\; b)\; \backslash times\; c\; =\; a\; \backslash times\; (b\; \backslash times\; c)$
3. Существует нейтральный элемент: Умножение на единицу не меняет число:$a\times 1=aa\; \backslash times\; 1\; =\; a$

Деление

Деление — это операция, обратная умножению, при которой одно число (делимое) делится на другое (делитель). Результат деления называется частным. Деление обозначается знаком “÷” или дробной чертой.

Примеры:

• $6÷2=36\; \backslash div\; 2\; =\; 3$
• $-8÷2=-4-8\; \backslash div\; 2\; =\; -4$
• $-6÷(-2)=3-6\; \backslash div\; (-2)\; =\; 3$

Свойства деления:

1. Не коммутативно: Порядок чисел важен:$a÷b\mathrm{\ne }b÷aa\; \backslash div\; b\; \backslash neq\; b\; \backslash div\; a$
2. Не ассоциативно: Деление не сохраняет ассоциативность:$(a÷b)÷c\mathrm{\ne }a÷(b÷c)(a\; \backslash div\; b)\; \backslash div\; c\; \backslash neq\; a\; \backslash div\; (b\; \backslash div\; c)$

Важное замечание:

• Делить на ноль невозможно. То есть выражение $a÷0a\; \backslash div\; 0$ не имеет смысла, так как результат не существует.

Порядок выполнения арифметических действий

При решении выражений важно соблюдать правильный порядок выполнения операций. Этот порядок регулируется правилами приоритета:

1. Сначала выполняются действия в скобках.
2. Затем выполняются операции умножения и деления (в порядке их появления слева направо).
3. После этого выполняются операции сложения и вычитания (также в порядке их появления слева направо).

Пример:

Решим выражение:

1. В скобках: $2+3=52\; +\; 3\; =\; 5$.
2. Подставляем в выражение:$3+5\times 5-6÷23\; +\; 5\; \backslash times\; 5\; -\; 6\; \backslash div\; 2$
3. Умножение и деление: $5\times 5=255\; \backslash times\; 5\; =\; 25$ и $6÷2=36\; \backslash div\; 2\; =\; 3$.$3+25-33\; +\; 25\; -\; 3$
4. Сложение и вычитание: $3+25=283\; +\; 25\; =\; 28$, и $28-3=2528\; -\; 3\; =\; 25$.

Ответ: $2525$.

Применение арифметических действий

Арифметические действия используются в различных областях математики и жизни, таких как:

• Подсчёт: Подсчёт товаров, людей, времени, стоимости и т.д.
• Математические вычисления: Применение в решении уравнений, вычислении площадей, объёмов.
• Финансовые операции: Расчёты стоимости товаров, банковские операции.

Пример из жизни:

Для покупки товара стоимостью $100100$ с налогом $18\mathrm{\%}18\backslash \%$ необходимо вычислить общую стоимость:

Итак, общая стоимость товара составит $118118$.

Итоговая таблица свойств арифметических действий

Заключение

Арифметические операции — это базовые математические действия, которые необходимы для решения большинства задач. Понимание их свойств и правил выполнения помогает не только в математике, но и в повседневной жизни, например, при ведении финансовых расчётов, покупках и других ситуациях.