Деление

Деление — это базовая арифметическая операция, которая заключается в нахождении, сколько раз одно число (делитель) содержится в другом (делимое). Деление используется для распределения, деления на равные части и решения задач обратных умножению.

Определение

Деление записывается в виде: $a÷b=ca\; \backslash div\; b\; =\; c$, где: $aa$ — делимое, $bb$ — делитель ($b\mathrm{\ne }0b\; \backslash neq\; 0$), $cc$ — частное.

Пример:

Свойства деления

1. Не является коммутативным:

   $a÷b\mathrm{\ne }b÷aa\; \backslash div\; b\; \backslash neq\; b\; \backslash div\; a$

   Пример: $12÷4=312\; \backslash div\; 4\; =\; 3$, но $4÷12=0.333\dots 4\; \backslash div\; 12\; =\; 0.333\backslash ldots$.

2. Не является ассоциативным:

   $(a÷b)÷c\mathrm{\ne }a÷(b÷c)(a\; \backslash div\; b)\; \backslash div\; c\; \backslash neq\; a\; \backslash div\; (b\; \backslash div\; c)$

   Пример: $(12÷4)÷2=3÷2=1.5(12\; \backslash div\; 4)\; \backslash div\; 2\; =\; 3\; \backslash div\; 2\; =\; 1.5$, но $12÷(4÷2)=12÷2=612\; \backslash div\; (4\; \backslash div\; 2)\; =\; 12\; \backslash div\; 2\; =\; 6$.

3. Деление на 1:

   $a÷1=aa\; \backslash div\; 1\; =\; a$

   Пример: $7÷1=77\; \backslash div\; 1\; =\; 7$.

4. Деление числа на само себя:

   $a÷a=1,a\mathrm{\ne }0a\; \backslash div\; a\; =\; 1,\; \backslash quad\; a\; \backslash neq\; 0$

   Пример: $9÷9=19\; \backslash div\; 9\; =\; 1$.

5. Деление на 0 невозможно: Деление на $00$ не определено.

Основные случаи деления

1. Деление положительных чисел:

   • Результат положительный.
   • Пример: $15÷3=515\; \backslash div\; 3\; =\; 5$.

2. Деление отрицательных чисел:

   • Результат положительный.
   • Пример: $(-12)÷(-4)=3(-12)\; \backslash div\; (-4)\; =\; 3$.

3. Деление чисел с разными знаками:

   • Результат отрицательный.
   • Пример: $(-18)÷6=-3(-18)\; \backslash div\; 6\; =\; -3$.

4. Деление с остатком: При делении целых чисел иногда остается остаток: $a=(b\cdot q)+r,a\; =\; (b\; \backslash cdot\; q)\; +\; r,$ где: $qq$ — частное, $rr$ — остаток ().

   Пример: $17÷5=3\text{ (остаток }2\text{)}\mathrm{.}17\; \backslash div\; 5\; =\; 3\; \backslash text\{\; (остаток\; \}\; 2\backslash text\{)\}.$

Деление дробей

Обыкновенные дроби

Чтобы разделить дробь на дробь, умножьте первую дробь на обратную второй:

Пример:

Десятичные дроби

Для деления десятичных дробей:

1. Перенесите запятую вправо так, чтобы делитель стал целым числом.
2. Выполните обычное деление.

Пример:

Деление чисел с процентами

Для нахождения, сколько процентов одно число составляет от другого:

Пример:

Примеры из жизни

1. Разделение суммы денег между несколькими людьми.

2. Расчет стоимости одного товара при известной общей стоимости.

3. Вычисление скорости по формуле: $v=\frac{s}{t}v\; =\; \backslash frac\{s\}\{t\}$.

Задачи для закрепления

1. Вычислите: $48÷848\; \backslash div\; 8$.

2. Найдите частное: $-36÷6-36\; \backslash div\; 6$.

3. Разделите дроби: $\frac{7}{9}÷\frac{2}{3}\backslash frac\{7\}\{9\}\; \backslash div\; \backslash frac\{2\}\{3\}$.

4. Разделите десятичные дроби: $2.5÷0.52.5\; \backslash div\; 0.5$.

5. Какой процент составляет $4040$ от $200200$?