Умножение

Умножение — это базовая арифметическая операция, представляющая собой повторяющееся сложение одного числа несколько раз. Умножение является основой для многих сложных математических операций и широко используется в повседневной жизни.

Определение

Умножение записывается как:

где:

• $aa$ и $bb$ — множители,
• $cc$ — произведение.

Пример:

Свойства умножения

1. Коммутативность:

   $a\cdot b=b\cdot aa\; \backslash cdot\; b\; =\; b\; \backslash cdot\; a$

   Пример: $3\cdot 5=5\cdot 3=153\; \backslash cdot\; 5\; =\; 5\; \backslash cdot\; 3\; =\; 15$.

2. Ассоциативность:

   $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)(a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash cdot\; c\; =\; a\; \backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; c)$

   Пример: $(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24(2\; \backslash cdot\; 3)\; \backslash cdot\; 4\; =\; 2\; \backslash cdot\; (3\; \backslash cdot\; 4)\; =\; 24$.

3. Распределительное свойство:

   $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot ca\; \backslash cdot\; (b\; +\; c)\; =\; a\; \backslash cdot\; b\; +\; a\; \backslash cdot\; c$

   Пример: $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=142\; \backslash cdot\; (3\; +\; 4)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3\; +\; 2\; \backslash cdot\; 4\; =\; 14$.

4. Множитель единицы:

   $a\cdot 1=aa\; \backslash cdot\; 1\; =\; a$

   Пример: $7\cdot 1=77\; \backslash cdot\; 1\; =\; 7$.

5. Множитель нуля:

   $a\cdot 0=0a\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$

   Пример: $9\cdot 0=09\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$.

Основные случаи умножения

1. Умножение положительных чисел:

   • Результат всегда положительный.
   • Пример: $4\cdot 6=244\; \backslash cdot\; 6\; =\; 24$.

2. Умножение отрицательных чисел:

   • Результат всегда положительный.
   • Пример: $(-3)\cdot (-5)=15(-3)\; \backslash cdot\; (-5)\; =\; 15$.

3. Умножение чисел с разными знаками:

   • Результат всегда отрицательный.
   • Пример: $(-4)\cdot 7=-28(-4)\; \backslash cdot\; 7\; =\; -28$.

Умножение дробей

Обыкновенные дроби

Для умножения дробей числители умножаются на числители, а знаменатели — на знаменатели:

Пример:

Десятичные дроби

Для умножения десятичных дробей:

1. Умножьте числа, игнорируя запятые.

2. В результате поставьте запятую так, чтобы общее количество знаков после запятой совпадало с исходным.

Пример:

Умножение чисел с процентами

Чтобы найти $p\mathrm{\%}p\backslash \%$ от числа $xx$, умножьте $xx$ на $p\mathrm{/}100p/100$:

Пример:

Примеры из жизни

1. Вычисление стоимости множества одинаковых товаров (например, 5 товаров по 200 рублей).

2. Расчет площади прямоугольника ($\text{длина}\cdot \text{ширина}длина\; \backslash cdot\; ширина$).

3. Умножение процентов для расчета доходов по вкладам.

Задачи для закрепления

1. Вычислите: $8\cdot 78\; \backslash cdot\; 7$.

2. Найдите произведение: $-5\cdot 6-5\; \backslash cdot\; 6$.

3. Умножьте дроби: $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}\backslash frac\{3\}\{4\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{5\}$.

4. Умножьте десятичные дроби: $1.25\cdot 0.41.25\; \backslash cdot\; 0.4$.

5. Найдите $15\mathrm{\%}15\backslash \%$ от $120120$.