Квадрат разности

Квадрат разности — это важная формула сокращённого умножения, которая упрощает возведение в квадрат разности двух выражений. Формула используется для упрощения алгебраических выражений, вычислений и разложения на множители.

Формула

Формула квадрата разности: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2(a\; -\; b)^2\; =\; a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2$, где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Чтобы вывести формулу, нужно записать квадрат разности в развернутом виде:

Используя распределительное свойство:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Найдём $(5-3{)}^2(5\; -\; 3)^2$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Найдём $(x-4{)}^2(x\; -\; 4)^2$:

Пример 3: Сложное выражение

Найдём $(2a-3b{)}^2(2a\; -\; 3b)^2$:

Свойства

1. Симметрия: $(a-b{)}^2=(b-a{)}^2\mathrm{.}(a\; -\; b)^2\; =\; (b\; -\; a)^2.$

2. Работает для любых чисел и переменных:

   • Формула применяется как для чисел, так и для алгебраических выражений.

3. Удобство использования:

   • Помогает быстро выполнять операции, избегая развёрнутого умножения.

Примеры из жизни

1. Геометрия:
   • Если сторона квадрата равна $(a-b)(a\; -\; b)$, то его площадь равна:

2. Физика:

   • При расчётах, например: $(v_1-v_2{)}^2(v\_1\; -\; v\_2)^2$.

3. Экономика:

   • Формулы для расчётов изменений, связанных с уменьшением значений.

Задачи для закрепления

1. Упростите выражение:

   $(x-7{)}^2\mathrm{.}(x\; -\; 7)^2.$

2. Найдите значение:

   $(10-6{)}^2\mathrm{.}(10\; -\; 6)^2.$

3. Упростите:

   $(3a-2b{)}^2\mathrm{.}(3a\; -\; 2b)^2.$

4. Преобразуйте:

   $(x-y-z{)}^2\text{(раскрывая поэтапно)}\mathrm{.}(x\; -\; y\; -\; z)^2\; \backslash quad\; \backslash text\{(раскрывая\; поэтапно)\}.$