Экспоненциальные уравнения

Экспоненциальные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Такие уравнения часто встречаются в задачах, связанных с ростом, затуханием процессов, финансами и физическими законами.

Определение

Экспоненциальное уравнение записывается в общем виде: $a^{f(x)}=g(x)a^\{f(x)\}\; =\; g(x)$, где: $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$ — основание показательной функции, $f(x)f(x)$ и $g(x)g(x)$ — выражения, содержащие переменные.

Пример:

Методы решения экспоненциальных уравнений

1. Приведение к одному основанию

Если $a^{f(x)}=a^{g(x)}a^\{f(x)\}\; =\; a^\{g(x)\}$, то:

Пример:

Представим $88$ как степень числа $22$:

2. Логарифмирование

Если основание не совпадает, применяют логарифмы:

Пример:

Решение:

3. Замена переменной

Если в уравнении присутствуют сложные выражения, используют замену переменной.

Пример:

Замена: $t=2^{x}t\; =\; 2^x$. Тогда:

Решаем квадратное уравнение:

Возвращаем замену:

Отрицательное значение $t=-2t\; =\; -2$ исключается, так как показатель не может быть отрицательным.

4. Метод сравнения показателей

Если $a^{f(x)}=a^{g(x)}a^\{f(x)\}\; =\; a^\{g(x)\}$, то равны показатели:

Пример:

Решение:

Особые случаи

1. Неполные уравнения Если в уравнении отсутствует $g(x)g(x)$:

Решение: Уравнение не имеет решений, так как показатель всегда больше нуля.

2. Уравнения с логарифмами Пример:

Решение: Логарифмируем:

Разрешаем относительно $xx$:

Графический метод

Экспоненциальные уравнения можно решать графически. Для этого строятся графики функций $a^{f(x)}a^\{f(x)\}$ и $g(x)g(x)$. Точки пересечения графиков соответствуют решениям уравнения.

Пример:

Строим графики $y=2^{x}y\; =\; 2^x$ и $y=x+3y\; =\; x\; +\; 3$. Точка пересечения графиков — это значение $xx$, которое удовлетворяет уравнению.

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Закон радиоактивного распада:

2. Экономика:
   • Формула сложных процентов:

3. Биология:
   • Модель роста популяции:

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $3^x=81.3^x\; =\; 81.$

2. Найдите $xx$:

   $2^{x+1}=16.2^\{x+1\}\; =\; 16.$

3. Упростите и решите:

   $5^{2x}=25^{x+1}\mathrm{.}5^\{2x\}\; =\; 25^\{x+1\}.$

4. Решите уравнение с заменой:

   $2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0.2^\{2x\}\; -\; 3\; \backslash cdot\; 2^x\; +\; 2\; =\; 0.$

5. Решите графически:

   $2^x=x+4.2^x\; =\; x\; +\; 4.$