Моном

Моном — это простейший вид алгебраического выражения, который состоит из одного члена, представляющего произведение числового коэффициента и переменных, возведённых в натуральные степени. Мономы — важный элемент алгебры, на основе которых строятся более сложные выражения, такие как многочлены.

Определение

Моном — это алгебраическое выражение вида: $k\cdot x_1^{n_1}\cdot x_2^{n_2}\cdot \cdots \cdot x_m^{n_m}k\; \backslash cdot\; x\_1^\{n\_1\}\; \backslash cdot\; x\_2^\{n\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash dots\; \backslash cdot\; x\_m^\{n\_m\}$, где: $kk$ — числовой коэффициент (целое, дробное или действительное число), $x_1,x_2,\dots ,x_{m}x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_m$ — переменные, $n_1,n_2,\dots ,n_{m}n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots,\; n\_m$ — натуральные степени переменных (могут быть равны $00$).

Примеры:

• $5x^{2}5x^2$, $-3a^{3}b-3a^3b$, $\frac{2}{3}xy\backslash frac\{2\}\{3\}xy$.

Частные случаи мономов

1. Числовой моном — моном без переменных.

   • Пример: $7,-3,\frac{1}{2}7,\; -3,\; \backslash frac\{1\}\{2\}$.

2. Одночлен с одной переменной:

   • Пример: $4x^3,-5y4x^3,\; -5y$.

3. Одночлен с несколькими переменными:

   • Пример: $2a^2{b}^3,\frac{1}{2}x{y}^{2}z2a^2b^3,\; \backslash frac\{1\}\{2\}xy^2z$.

4. Свободный член — моном без переменных, где $n_i=0n\_i\; =\; 0$.

   • Пример: $66$.

Степень монома

Степень монома — это сумма показателей степеней всех переменных.

Пример:

• Для $2x^2{y}^{3}2x^2y^3$, степень монома равна $2+3=52\; +\; 3\; =\; 5$.

• Для $-3a^{2}b-3a^2b$, степень монома равна $2+1=32\; +\; 1\; =\; 3$.

Операции с мономами

1. Сложение и вычитание

Сложение и вычитание мономов возможно только для одинаковых мономов (одинаковые переменные с одинаковыми степенями).

Пример:

• $3x^2+5x^2=8x^{2}3x^2\; +\; 5x^2\; =\; 8x^2$.
• $4ab-2ab=2ab4ab\; -\; 2ab\; =\; 2ab$.

Если мономы различны, операция не упрощается:

• $3x+5y3x\; +\; 5y$ остаётся неизменным.

2. Умножение

При умножении мономов коэффициенты перемножаются, а степени переменных складываются.

Формула:

Пример:

• $(3x^2)\cdot (2x^3)=6x^{2+3}=6x^5(3x^2)\; \backslash cdot\; (2x^3)\; =\; 6x^\{2+3\}\; =\; 6x^5$.

• $(-4ab)\cdot (2a^2{b}^3)=-8a^{1+2}{b}^{1+3}=-8a^3{b}^4(-4ab)\; \backslash cdot\; (2a^2b^3)\; =\; -8a^\{1+2\}b^\{1+3\}\; =\; -8a^3b^4$.

3. Деление

При делении мономов коэффициенты делятся, а степени переменных вычитаются.

Формула:

Пример:

• $\frac{6x^5}{2x^3}=3x^{5-3}=3x^2\backslash frac\{6x^5\}\{2x^3\}\; =\; 3x^\{5-3\}\; =\; 3x^2$.
• $\frac{-8a^3{b}^4}{2a{b}^2}=-4a^{3-1}{b}^{4-2}=-4a^2{b}^2\backslash frac\{-8a^3b^4\}\{2ab^2\}\; =\; -4a^\{3-1\}b^\{4-2\}\; =\; -4a^2b^2$.

4. Возведение в степень

При возведении монома в степень коэффициент возводится в степень, а показатели переменных умножаются на степень.

Формула:

Пример:

• $(2x^3{)}^2=2^2\cdot x^{3\cdot 2}=4x^6(2x^3)^2\; =\; 2^2\; \backslash cdot\; x^\{3\; \backslash cdot\; 2\}\; =\; 4x^6$.

• $(-3a{b}^2{)}^3=(-3{)}^3\cdot a^3\cdot b^{2\cdot 3}=-27a^3{b}^6(-3ab^2)^3\; =\; (-3)^3\; \backslash cdot\; a^3\; \backslash cdot\; b^\{2\; \backslash cdot\; 3\}\; =\; -27a^3b^6$.

Примеры из жизни

1. Формулы физики:

   • Мощность: $P=UIP\; =\; UI$ (моном $UIUI$).

2. Геометрия:

   • Площадь квадрата: $S=a^{2}S\; =\; a^2$ (моном $a^{2}a^2$).

3. Экономика:

   • Проценты: $P=P_0\cdot (1+r{)}^{n}P\; =\; P\_0\; \backslash cdot\; (1\; +\; r)^n$ (моном $(1+r{)}^n(1\; +\; r)^n$).

Задачи для закрепления

1. Найдите степень монома:

   • $4x^3{y}^{2}4x^3y^2$
   • $-5a^2{b}^4-5a^2b^4$.

2. Выполните умножение:

   • $(3x^2)\cdot (4x^3)(3x^2)\; \backslash cdot\; (4x^3)$
   • $(-2ab)\cdot (5a^2{b}^3)(-2ab)\; \backslash cdot\; (5a^2b^3)$.

3. Выполните деление:

   • $\frac{6x^4}{3x^2}\backslash frac\{6x^4\}\{3x^2\}$
   • $\frac{-8a^3{b}^5}{2a{b}^3}\backslash frac\{-8a^3b^5\}\{2ab^3\}$.

4. Возведите моном в степень:

   • $(2x^3{)}^2(2x^3)^2$
   • $(-3a^{2}b{)}^3(-3a^2b)^3$.