Разность квадратов

Разность квадратов — это одна из формул сокращённого умножения, которая позволяет разложить разность квадратов двух выражений на произведение их суммы и разности. Эта формула широко используется для упрощения выражений, разложения на множители и решения уравнений.

Формула

Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)a^2\; -\; b^2\; =\; (a\; -\; b)(a\; +\; b)$, где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Чтобы вывести формулу, нужно раскрыть произведение $(a-b)(a+b)(a\; -\; b)(a\; +\; b)$:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Найдём $25-1625\; -\; 16$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Разложим $x^2-9x^2\; -\; 9$:

Пример 3: Сложное выражение

Разложим $4a^2-9b^{2}4a^2\; -\; 9b^2$:

Свойства

1. Обратимость: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}(a\; -\; b)(a\; +\; b)\; =\; a^2\; -\; b^2.$

2. Универсальность:

   • Формула применяется для любых чисел, переменных или их комбинаций.

3. Работает в обоих направлениях:

   • Используется как для упрощения, так и для разложения на множители.

Примеры из жизни

1. Геометрия:
   • Если площадь квадрата уменьшается на площадь другого квадрата, то её можно представить как разность квадратов:

2. Физика:

   • Формулы движения содержат разности квадратов, например, $v^2-u^2=2asv^2\; -\; u^2\; =\; 2as$.

3. Экономика:

   • Анализ изменений в значениях показателей.

Задачи для закрепления

1. Разложите на множители:

   $x^2-25,4a^2-16b^2\mathrm{.}x^2\; -\; 25,\; \backslash quad\; 4a^2\; -\; 16b^2.$

2. Упростите выражение:

   $(x-3)(x+3)\mathrm{.}(x\; -\; 3)(x\; +\; 3).$

3. Найдите значение:

   $81-49\text{, используя формулу}\mathrm{.}81\; -\; 49\; \backslash text\{,\; используя\; формулу\}.$

4. Разложите на множители:

   $9x^2-y^2\mathrm{.}9x^2\; -\; y^2.$