Упрощение алгебраических выражений

Введение

Упрощение алгебраических выражений — это процесс приведения сложного выражения к более простому виду. Этот навык необходим для эффективного решения уравнений, неравенств и задач. Упрощение включает выполнение операций, сокращение дробей, приведение подобных слагаемых и использование стандартных алгебраических формул.

Основные шаги упрощения алгебраических выражений

1. Раскрытие скобок: Используйте дистрибутивное свойство.$a(b+c)=ab+aca(b\; +\; c)\; =\; ab\; +\; ac$
2. Приведение подобных слагаемых: Сложите или вычтите однотипные члены.$3x+5x=8x3x\; +\; 5x\; =\; 8x$
3. Использование формул сокращённого умножения: Применяйте стандартные формулы для упрощения.
4. Сокращение дробей: Упростите дроби путём сокращения общих множителей в числителе и знаменателе.

Раскрытие скобок

Пример 1:

Упростим $2(x+3)2(x\; +\; 3)$:

Пример 2:

Упростим $(x+2)(x-3)(x\; +\; 2)(x\; -\; 3)$:

1. Используем распределительное свойство:$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6(x\; +\; 2)(x\; -\; 3)\; =\; x^2\; -\; 3x\; +\; 2x\; -\; 6$
2. Приведём подобные:$x^2-x-6x^2\; -\; x\; -\; 6$

Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые имеют одинаковые переменные с одинаковыми степенями.

Пример:

Упростим $3x^2+5x-2x^2+73x^2\; +\; 5x\; -\; 2x^2\; +\; 7$:

1. Приведём подобные члены:$(3x^2-2x^2)+5x+7=x^2+5x+7(3x^2\; -\; 2x^2)\; +\; 5x\; +\; 7\; =\; x^2\; +\; 5x\; +\; 7$

Использование формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения упрощают выражения, особенно содержащие квадраты и кубы. Вот основные формулы:

1. Квадрат суммы:$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2$
2. Квадрат разности:$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2(a\; -\; b)^2\; =\; a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2$
3. Разность квадратов:$a^2-b^2=(a-b)(a+b)a^2\; -\; b^2\; =\; (a\; -\; b)(a\; +\; b)$
4. Сумма кубов:$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3\; +\; b^3\; =\; (a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$
5. Разность кубов:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a^3\; -\; b^3\; =\; (a\; -\; b)(a^2\; +\; ab\; +\; b^2)$

Пример:

Упростим $(x+3{)}^2(x\; +\; 3)^2$:

1. Применим формулу квадрата суммы:$(x+3{)}^2=x^2+6x+9(x\; +\; 3)^2\; =\; x^2\; +\; 6x\; +\; 9$

Сокращение дробей

Сокращение дробей включает нахождение общего множителя в числителе и знаменателе.

Пример 1:

Упростим $\frac{6x^2}{3x}\backslash frac\{6x^2\}\{3x\}$:

1. Найдём общий множитель:$\frac{6x^2}{3x}=\frac{3\cdot 2x^2}{3\cdot x}\backslash frac\{6x^2\}\{3x\}\; =\; \backslash frac\{3\; \backslash cdot\; 2x^2\}\{3\; \backslash cdot\; x\}$
2. Сократим на $3x3x$:$2x2x$

Пример 2:

Упростим $\frac{x^2-9}{x+3}\backslash frac\{x^2\; -\; 9\}\{x\; +\; 3\}$:

1. Разложим числитель на множители:$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}\backslash frac\{x^2\; -\; 9\}\{x\; +\; 3\}\; =\; \backslash frac\{(x\; -\; 3)(x\; +\; 3)\}\{x\; +\; 3\}$
2. Сократим общий множитель $(x+3)(x\; +\; 3)$:$x-3x\; -\; 3$

Примеры упрощения

Пример 1:

Упростим $(x+2)(x-4)+3x(x\; +\; 2)(x\; -\; 4)\; +\; 3x$:

1. Раскроем скобки:$(x+2)(x-4)=x^2-4x+2x-8=x^2-2x-8(x\; +\; 2)(x\; -\; 4)\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 2x\; -\; 8\; =\; x^2\; -\; 2x\; -\; 8$
2. Приведём подобные:$x^2-2x-8+3x=x^2+x-8x^2\; -\; 2x\; -\; 8\; +\; 3x\; =\; x^2\; +\; x\; -\; 8$

Пример 2:

Упростим $\frac{x^2+2x}{x}\backslash frac\{x^2\; +\; 2x\}\{x\}$:

1. Вынесем общий множитель из числителя:$\frac{x^2+2x}{x}=\frac{x(x+2)}{x}\backslash frac\{x^2\; +\; 2x\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{x(x\; +\; 2)\}\{x\}$
2. Сократим общий множитель $xx$:$x+2x\; +\; 2$

Итоговая таблица методов упрощения

Заключение

Упрощение алгебраических выражений — это важный инструмент, который делает работу с математическими задачами быстрее и эффективнее. Понимание методов упрощения помогает решать уравнения, анализировать функции и находить решения в реальных задачах.