Основные

Курсы

Другое

Формулы сокращённого умножения

Введение

Формулы сокращённого умножения — это удобный инструмент в алгебре, позволяющий быстро и эффективно упрощать выражения, решать уравнения и проводить разложения на множители. Они используются в самых разных областях математики, от школьной программы до сложных вычислений.

Основные формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Пример:

Упростим $(x + 3)^{2}$ :

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Квадрат разности

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Пример:

Упростим $(x - 5)^{2}$ :

(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Пример:

Разложим $x^{2} - 9$ :

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Сумма кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Пример:

Разложим $x^{3} + 8$ :

x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

Разность кубов

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Пример:

Разложим $x^{3} - 27$ :

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

Применение формул

Раскрытие скобок

Формулы сокращённого умножения помогают упростить выражения, не прибегая к долгим вычислениям.

Пример:

Раскроем $(2 x + 5)^{2}$ :

(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25

Разложение на множители

Использование формул позволяет представить многочлен в виде произведения.

Пример:

Разложим $x^{2} - 25$ :

x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)

Сравнительная таблица формул

Формула	Вид	Пример
Квадрат суммы	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$
Квадрат разности	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$
Сумма кубов	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$	$x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$	$x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

Часто встречающиеся ошибки

Неверное применение формулы. Например, $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Не забывайте про удвоенное произведение.
Неполное разложение. Например, $x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2}$ , но правильное разложение: $(x - 4) (x + 4)$ .
Перепутанные знаки. В формуле $(a - b)^{2}$ знак второго члена отрицательный: $- 2 a b$ .

Примеры из практики

Пример 1:

Упростим $(x + 4)^{2} - (x - 3)^{2}$ .

Применим формулы: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$
Подставим и упростим: $(x^{2} + 8 x + 16) - (x^{2} - 6 x + 9) = 8 x + 6 x + 16 - 9$ $14 x + 7$

Пример 2:

Разложим $27 x^{3} - y^{3}$ .

Применим формулу разности кубов: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$
Подставим $a = 3 x$ , $b = y$ : $27 x^{3} - y^{3} = (3 x - y) ((3 x)^{2} + (3 x) y + y^{2})$
Упростим: $(3 x - y) (9 x^{2} + 3 x y + y^{2})$

Итоги

Формулы сокращённого умножения — мощный инструмент, упрощающий работу с выражениями. Их знание помогает эффективно решать задачи в алгебре, упрощать сложные выражения и проводить разложения. Регулярная практика применения формул позволяет быстро находить решения и избегать ошибок.