Формулы сокращённого умножения

Введение

Формулы сокращённого умножения — это удобный инструмент в алгебре, позволяющий быстро и эффективно упрощать выражения, решать уравнения и проводить разложения на множители. Они используются в самых разных областях математики, от школьной программы до сложных вычислений.

Основные формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы

Пример:

Упростим $(x+3{)}^2(x\; +\; 3)^2$:

Квадрат разности

Пример:

Упростим $(x-5{)}^2(x\; -\; 5)^2$:

Разность квадратов

Пример:

Разложим $x^2-9x^2\; -\; 9$:

Сумма кубов

Пример:

Разложим $x^3+8x^3\; +\; 8$:

Разность кубов

Пример:

Разложим $x^3-27x^3\; -\; 27$:

Применение формул

Раскрытие скобок

Формулы сокращённого умножения помогают упростить выражения, не прибегая к долгим вычислениям.

Пример:

Раскроем $(2x+5{)}^2(2x\; +\; 5)^2$:

Разложение на множители

Использование формул позволяет представить многочлен в виде произведения.

Пример:

Разложим $x^2-25x^2\; -\; 25$:

Сравнительная таблица формул

Часто встречающиеся ошибки

1. Неверное применение формулы. Например, $(a+b{)}^2\mathrm{\ne }{a}^2+b^2(a\; +\; b)^2\; \backslash neq\; a^2\; +\; b^2$. Не забывайте про удвоенное произведение.

2. Неполное разложение. Например, $x^2-16=x^2-4^{2}x^2\; -\; 16\; =\; x^2\; -\; 4^2$, но правильное разложение: $(x-4)(x+4)(x\; -\; 4)(x\; +\; 4)$.

3. Перепутанные знаки. В формуле $(a-b{)}^2(a\; -\; b)^2$ знак второго члена отрицательный: $-2ab-2ab$.

Примеры из практики

Пример 1:

Упростим $(x+4{)}^2-(x-3{)}^2(x\; +\; 4)^2\; -\; (x\; -\; 3)^2$.

1. Применим формулы:$(x+4{)}^2=x^2+8x+16(x\; +\; 4)^2\; =\; x^2\; +\; 8x\; +\; 16$$(x-3{)}^2=x^2-6x+9(x\; -\; 3)^2\; =\; x^2\; -\; 6x\; +\; 9$
2. Подставим и упростим:$(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)=8x+6x+16-9(x^2\; +\; 8x\; +\; 16)\; -\; (x^2\; -\; 6x\; +\; 9)\; =\; 8x\; +\; 6x\; +\; 16\; -\; 9$$14x+714x\; +\; 7$

Пример 2:

Разложим $27x^3-y^{3}27x^3\; -\; y^3$.

1. Применим формулу разности кубов:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a^3\; -\; b^3\; =\; (a\; -\; b)(a^2\; +\; ab\; +\; b^2)$
2. Подставим $a=3xa\; =\; 3x$, $b=yb\; =\; y$:$27x^3-y^3=(3x-y)((3x{)}^2+(3x)y+y^2)27x^3\; -\; y^3\; =\; (3x\; -\; y)((3x)^2\; +\; (3x)y\; +\; y^2)$
3. Упростим:$(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)(3x\; -\; y)(9x^2\; +\; 3xy\; +\; y^2)$

Итоги

Формулы сокращённого умножения — мощный инструмент, упрощающий работу с выражениями. Их знание помогает эффективно решать задачи в алгебре, упрощать сложные выражения и проводить разложения. Регулярная практика применения формул позволяет быстро находить решения и избегать ошибок.