Разность кубов

Разность кубов — это формула сокращённого умножения, которая позволяет разложить разность кубов двух выражений на произведение. Формула упрощает преобразование алгебраических выражений и разложение на множители.

Формула

Формула разности кубов: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где: $a$ и $b$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Сначала запишем разность кубов:

a^{3} - b^{3} .

Теперь представим её как произведение:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .

Если раскрыть правую часть, мы получим:

(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} .

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Разложим $27 - 8$ :

27 - 8 = 3^3 - 2^3 = (3 - 2)(3^2 + 3 \cdot 2 + 2^2) = 1(9 + 6 + 4) = 1 \cdot 19 = 19.

Пример 2: Алгебраическое выражение

Разложим $x^{3} - 8$ :

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) .

Пример 3: Сложное выражение

Разложим $8 a^{3} - 27 b^{3}$ :

8 a^{3} - 27 b^{3} = (2 a)^{3} - (3 b)^{3} = (2 a - 3 b) ((2 a)^{2} + (2 a) (3 b) + (3 b)^{2}) = (2 a - 3 b) (4 a^{2} + 6 a b + 9 b^{2}) .

Свойства

Разложение разности кубов:
- Формула применима к любым числам, переменным или выражениям.
- Разность кубов всегда раскладывается на два множителя.
Обратимость:
- Формулу можно использовать в обратном направлении для раскрытия скобок.
Работа с отрицательными числами:
- Если $b < 0$ , формула превращается в сумму кубов:

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) .

Примеры из жизни

Геометрия:
- Вычисление разности объёмов двух кубов: $V = a^{3} - b^{3}$ .
Физика:
- Применение в расчётах, где требуется найти разность объёмов или величин в кубической зависимости.
Экономика:
- Использование для анализа разности показателей роста.

Задачи для закрепления

Разложите на множители:
$x^3 - 27, \quad 64a^3 - b^3.$
Упростите выражение:
$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) .$
Найдите значение:
$125 - 27.$
Разложите на множители:
$216 x^{3} - 64 y^{3} .$