Одночлены и многочлены

Одночлены и многочлены — это основные элементы алгебры, которые используются для представления и анализа математических выражений. Они составляют основу для работы с уравнениями, неравенствами и функциями.

Одночлен

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее произведение числового коэффициента и переменных, возведённых в натуральные степени.

Форма: $k\cdot x_1^{n_1}\cdot x_2^{n_2}\cdots x_m^{n_m}k\; \backslash cdot\; x\_1^\{n\_1\}\; \backslash cdot\; x\_2^\{n\_2\}\; \backslash cdots\; x\_m^\{n\_m\}$, где: $kk$ — числовой коэффициент, $x_1,x_2,\dots x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots$ — переменные, $n_1,n_2,\dots n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots$ — натуральные степени (включая $00$).

Примеры:

• $5x^{2}5x^2$, $-3a^{3}b-3a^3b$, $\frac{1}{2}xy\backslash frac\{1\}\{2\}xy$.

Степень одночлена

Степень одночлена — это сумма степеней всех переменных в выражении.

Примеры:

• Для $3x^2{y}^{3}3x^2y^3$, степень одночлена: $2+3=52\; +\; 3\; =\; 5$.
• Для $-2a^3{b}^2-2a^3b^2$, степень одночлена: $3+2=53\; +\; 2\; =\; 5$.

Операции с одночленами

1. Сложение и вычитание:
   • Одночлены можно складывать или вычитать, если они одинаковы (имеют одинаковые переменные с одинаковыми степенями).
   • Пример:

2. Умножение:
   • Коэффициенты перемножаются, степени переменных складываются.
   • Пример:

3. Деление:
   • Коэффициенты делятся, степени переменных вычитаются.
   • Пример:

4. Возведение в степень:
   • Коэффициент возводится в степень, показатели переменных умножаются на степень.
   • Пример:

Многочлен

Многочлен — это сумма одночленов.

Форма: $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,P(x)\; =\; a\_nx^n\; +\; a\_\{n-1\}x^\{n-1\}\; +\; \backslash dots\; +\; a\_1x\; +\; a\_0,$ где: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_{0}a\_n,\; a\_\{n-1\},\; \backslash dots,\; a\_0$ — коэффициенты, $xx$ — переменная, $nn$ — степень многочлена.

Примеры:

• $P(x)=x^3-4x+6P(x)\; =\; x^3\; -\; 4x\; +\; 6$

• $Q(a,b)=3a^{2}b+2a{b}^2-5Q(a,\; b)\; =\; 3a^2b\; +\; 2ab^2\; -\; 5$.

Степень многочлена

Степень многочлена — это наивысшая степень одночлена, входящего в многочлен.

Пример:

• Для $x^4-2x^3+3x-5x^4\; -\; 2x^3\; +\; 3x\; -\; 5$, степень многочлена равна $44$.

Типы многочленов

1. Одночлен — многочлен из одного члена.

   • Пример: $5x^{2}5x^2$.

2. Двучлен (бином) — многочлен из двух членов.

   • Пример: $x^2-3xx^2\; -\; 3x$.

3. Трёхчлен (трином) — многочлен из трёх членов.

   • Пример: $x^2+5x+6x^2\; +\; 5x\; +\; 6$.

4. Многочлен общего вида:

   • Пример: $x^4-3x^3+2x^2-x+7x^4\; -\; 3x^3\; +\; 2x^2\; -\; x\; +\; 7$.

Операции с многочленами

1. Сложение и вычитание:
   • Складываются или вычитаются одноимённые члены.
   • Пример:

2. Умножение:
   • Каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого.
   • Пример:

3. Деление:
   • Деление многочлена на многочлен меньшей степени выполняется методом деления “уголком”.

Разница между одночленами и многочленами

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Одночлен: $F=maF\; =\; ma$ (закон Ньютона).
   • Многочлен: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}s\; =\; v\_0t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}at^2$ (формула пути).

2. Геометрия:

   • Одночлен: $S=a^{2}S\; =\; a^2$ (площадь квадрата).
   • Многочлен: $P=4a+4bP\; =\; 4a\; +\; 4b$ (периметр прямоугольника).

Задачи для закрепления

1. Найдите степень одночлена:

   • $4x^3{y}^{2}4x^3y^2$
   • $-5a^2{b}^4-5a^2b^4$.

2. Выполните операции с одночленами:

   • $(3x^2)\cdot (4x^3)(3x^2)\; \backslash cdot\; (4x^3)$
   • $\frac{6x^4}{3x^2}\backslash frac\{6x^4\}\{3x^2\}$.

3. Найдите степень и свободный член многочлена:

   $x^4-2x^3+3x^2-x+7.x^4\; -\; 2x^3\; +\; 3x^2\; -\; x\; +\; 7.$

4. Упростите:

   $(x^2+3x-5)+(2x^2-4x+6)\mathrm{.}(x^2\; +\; 3x\; -\; 5)\; +\; (2x^2\; -\; 4x\; +\; 6).$