Квадрат суммы

Квадрат суммы — это одна из базовых формул сокращённого умножения, которая упрощает возведение в квадрат суммы двух выражений. Формула широко используется для упрощения алгебраических выражений, разложения на множители и решения задач.

Формула

Формула квадрата суммы выглядит так: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2$ где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Чтобы вывести формулу, нужно записать квадрат суммы в развернутом виде:

Используя распределительное свойство:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Найдём $(3+5{)}^2(3\; +\; 5)^2$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Найдём $(x+4{)}^2(x\; +\; 4)^2$:

Пример 3: Усложнённое выражение

Найдём $(2a+3b{)}^2(2a\; +\; 3b)^2$:

Свойства

1. Симметрия: $(a+b{)}^2=(b+a{)}^2\mathrm{.}(a\; +\; b)^2\; =\; (b\; +\; a)^2.$

2. Применимость для любых выражений:

   • Формула работает как для чисел, так и для переменных или их комбинаций.

3. Универсальность:

   • Квадрат суммы применяется для упрощения выражений и вычислений.

Примеры из жизни

1. Геометрия: Площадь квадрата с длиной стороны $(a+b)(a\; +\; b)$: $S=(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}S\; =\; (a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2.$

2. Физика: При расчёте кинетической энергии: $(v_1+v_2{)}^2(v\_1\; +\; v\_2)^2$.

3. Экономика: Вычисление сложных процентов: $(1+r{)}^2(1\; +\; r)^2$.

Задачи для закрепления

1. Упростите выражение:

   $(x+7{)}^2\mathrm{.}(x\; +\; 7)^2.$

2. Найдите значение:

   $(10+5{)}^2\mathrm{.}(10\; +\; 5)^2.$

3. Упростите выражение:

   $(3a+2b{)}^2\mathrm{.}(3a\; +\; 2b)^2.$

4. Упростите:

   $(x+y+z{)}^2\text{(подсказка: раскройте поэтапно)}\mathrm{.}(x\; +\; y\; +\; z)^2\; \backslash quad\; \backslash text\{(подсказка:\; раскройте\; поэтапно)\}.$