Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители — это представление многочлена в виде произведения более простых выражений. Этот процесс упрощает работу с выражениями, помогает находить корни уравнений и анализировать свойства функций.

Основные понятия

Что такое множители многочлена?

Множители многочлена — это выражения, произведение которых даёт исходный многочлен. Например:

Здесь $(x-3)(x\; -\; 3)$ и $(x+3)(x\; +\; 3)$ — множители.

Зачем нужно разложение?

1. Упрощение выражений.
2. Решение уравнений и неравенств.
3. Выделение корней многочлена.

Методы разложения многочленов на множители

Вынесение общего множителя

Первый шаг в разложении — это поиск общего множителя для всех членов многочлена. Выносится общий множитель за скобки.

Пример 1:

Разложим $2x^2+4x2x^2\; +\; 4x$:

Пример 2:

Разложим $3a^{2}b-6a{b}^{2}3a^2b\; -\; 6ab^2$:

Разложение по формуле сокращённого умножения

Используются стандартные формулы для разложения.

Основные формулы:

1. Разность квадратов:

   $a^2-b^2=(a-b)(a+b)a^2\; -\; b^2\; =\; (a\; -\; b)(a\; +\; b)$

2. Квадрат суммы:

   $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^{2}a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2\; =\; (a\; +\; b)^2$

3. Квадрат разности:

   $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^{2}a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2\; =\; (a\; -\; b)^2$

4. Сумма и разность кубов:

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3\; +\; b^3\; =\; (a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a^3\; -\; b^3\; =\; (a\; -\; b)(a^2\; +\; ab\; +\; b^2)$

Пример:

Разложим $x^2-16x^2\; -\; 16$:

Группировка

Этот метод применяется, когда многочлен можно разделить на группы членов, из которых выносится общий множитель.

Пример:

Разложим $ax+ay+bx+byax\; +\; ay\; +\; bx\; +\; by$:

1. Группируем:$(ax+ay)+(bx+by)(ax\; +\; ay)\; +\; (bx\; +\; by)$
2. Выносим общий множитель в каждой группе:$a(x+y)+b(x+y)a(x\; +\; y)\; +\; b(x\; +\; y)$
3. Выносим общий множитель $(x+y)(x\; +\; y)$:$(a+b)(x+y)(a\; +\; b)(x\; +\; y)$

Разложение квадратного трёхчлена

Квадратный трёхчлен имеет вид:

Его разложение возможно, если известны корни $x_{1}x\_1$ и $x_{2}x\_2$. Формула разложения:

Пример:

Разложим $x^2-5x+6x^2\; -\; 5x\; +\; 6$:

1. Найдём корни с помощью теоремы Виета:$x_1=2,x_2=3x\_1\; =\; 2,\; \backslash quad\; x\_2\; =\; 3$
2. Разложим:$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)x^2\; -\; 5x\; +\; 6\; =\; (x\; -\; 2)(x\; -\; 3)$

Алгоритм разложения многочлена

1. Проверьте, можно ли вынести общий множитель.
2. Попробуйте применить формулы сокращённого умножения.
3. Если выражение содержит более трёх членов, используйте метод группировки.
4. Для квадратных трёхчленов найдите корни и разложите по формуле.

Примеры разложения

Пример 1. Разложение с общим множителем

Разложим $4x^3+8x^{2}4x^3\; +\; 8x^2$:

1. Вынесем общий множитель $4x^{2}4x^2$:$4x^3+8x^2=4x^2(x+2)4x^3\; +\; 8x^2\; =\; 4x^2(x\; +\; 2)$

Пример 2. Применение разности квадратов

Разложим $9a^2-b^{2}9a^2\; -\; b^2$:

1. Это разность квадратов:$9a^2-b^2=(3a-b)(3a+b)9a^2\; -\; b^2\; =\; (3a\; -\; b)(3a\; +\; b)$

Пример 3. Метод группировки

Разложим $x^3+x^2+x+1x^3\; +\; x^2\; +\; x\; +\; 1$:

1. Группируем:$(x^3+x^2)+(x+1)(x^3\; +\; x^2)\; +\; (x\; +\; 1)$
2. Выносим общий множитель в каждой группе:$x^2(x+1)+1(x+1)x^2(x\; +\; 1)\; +\; 1(x\; +\; 1)$
3. Выносим общий множитель $(x+1)(x\; +\; 1)$:$(x+1)(x^2+1)(x\; +\; 1)(x^2\; +\; 1)$

Итоговая таблица методов

Заключение

Разложение многочленов на множители — это базовый, но важный навык в алгебре. Знание методов разложения упрощает работу с выражениями и является основой для успешного решения уравнений и анализа функций.