Обратные функции

Обратная функция — это функция вида: $f(x)=\frac{k}{x},f(x)\; =\; \backslash frac\{k\}\{x\},$ где: $kk$ — постоянный коэффициент, $xx$ — независимая переменная, $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$ (область определения функции исключает ноль).

Графиком обратной функции является гипербола, состоящая из двух ветвей.

Основные свойства обратной функции

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

3. График функции:

   • График состоит из двух ветвей, расположенных в разных квадрантах.
   • Функция имеет вертикальную асимптоту $x=0x\; =\; 0$ и горизонтальную асимптоту $y=0y\; =\; 0$.

4. Симметрия:

   • Функция является нечётной:$f(-x)=-f(x)\mathrm{.}f(-x)\; =\; -f(x).$
   • График симметричен относительно начала координат.

5. Монотонность:

   • Функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },0)(-\backslash infty,\; 0)$ и $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.

Пример 1: Обратная функция

Рассмотрим функцию:

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

3. График:

   • При $x>0x\; >\; 0$, $f(x)>0f(x)\; >\; 0$ (гипербола в первой четверти).
   • При , (гипербола в третьей четверти).

Пример 2: Обратная функция с отрицательным коэффициентом

Рассмотрим функцию:

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

3. График:

   • При $x>0x\; >\; 0$, (гипербола во второй четверти).
   • При , $f(x)>0f(x)\; >\; 0$ (гипербола в четвёртой четверти).

Построение графика обратной функции

1. Задайте значения $xx$: Выберите значения $xx$ из положительного и отрицательного интервалов.

2. Вычислите $f(x)f(x)$: Подставьте значения $xx$ в формулу функции.

3. Нанесите точки на координатную плоскость: Постройте точки вида $(x,f(x))(x,\; f(x))$.

4. Соедините точки плавной линией: Обратите внимание на асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: $x=0x\; =\; 0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0y\; =\; 0$.

Связь с жизнью

1. Физика: Обратная зависимость описывает явления, где величина обратно пропорциональна другой. Например:

   $F=\frac{k}{r^2},F\; =\; \backslash frac\{k\}\{r^2\},$

   где $FF$ — сила, $rr$ — расстояние.

2. Экономика: В задачах на производительность обратная функция описывает скорость выполнения работы:

   $t=\frac{1}{v},t\; =\; \backslash frac\{1\}\{v\},$

   где $tt$ — время, $vv$ — скорость.

3. Математика: Используется для описания обратных пропорциональностей и при решении уравнений с дробными зависимостями.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=\frac{1}{x}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$

2. Найдите область определения и область значений функции:

   $f(x)=\frac{4}{x}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{4\}\{x\}.$

3. Определите, в каких квадрантах находятся ветви графика функции:

   $f(x)=-\frac{2}{x}\mathrm{.}f(x)\; =\; -\backslash frac\{2\}\{x\}.$

4. Постройте график и укажите асимптоты функции:

   $f(x)=\frac{3}{x}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{3\}\{x\}.$