Дробно-рациональные функции

Дробно-рациональная функция — это функция вида: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},f(x)\; =\; \backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\},$ где: $P(x)P(x)$ и $Q(x)Q(x)$ — многочлены, $Q(x)\mathrm{\ne }0Q(x)\; \backslash neq\; 0$ (знаменатель не равен нулю).

Примеры:

1. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; +\; 2\}$.
2. $f(x)=\frac{2x+3}{x^2-4x+3}f(x)\; =\; \backslash frac\{2x\; +\; 3\}\{x^2\; -\; 4x\; +\; 3\}$.

Свойства дробно-рациональных функций

1. Область определения: Дробно-рациональная функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю: $D(f)=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }Q(x)\mathrm{\ne }0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash \; |\; \backslash \; Q(x)\; \backslash neq\; 0\backslash \}.$

2. Асимптоты:

   • Вертикальные асимптоты: точки, где $Q(x)=0Q(x)\; =\; 0$, если эти точки не являются корнями числителя $P(x)P(x)$ той же степени.

   • Горизонтальная асимптота: определяется степенями числителя и знаменателя:

• 
  Если степень , то горизонтальная асимптота: $y=0y\; =\; 0$.

• Если степени равны: $y=\frac{\text{коэффициент при старшей степени в P(x) }}{\text{коэффициент при старшей степени в Q(x)}}y\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{коэффициент\; при\; старшей\; степени\; в\; P(x)\; \}\}\{\backslash text\{коэффициент\; при\; старшей\; степени\; в\; Q(x)\}\}$.

• Если степень $P(x)>\mathrm{deg}Q(x)P(x)\; >\; \backslash deg\; Q(x)$, горизонтальной асимптоты нет.

3. Симметрия:

   • 
     Если $f(-x)=f(x)f(-x)\; =\; f(x)$, функция чётная, её график симметричен относительно оси $yy$.

   • Если $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$, функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.

Построение графика дробно-рациональной функции

Шаги:

1. Найдите область определения: Определите значения $xx$, при которых знаменатель $Q(x)Q(x)$ равен нулю. Исключите эти точки из области определения.

2. Асимптоты:

   • Вертикальные: решите уравнение $Q(x)=0Q(x)\; =\; 0$.
   • Горизонтальная: сравните степени числителя $P(x)P(x)$ и знаменателя $Q(x)Q(x)$.

3. Исследуйте поведение функции в окрестности асимптот: Проверьте значения функции около точек разрыва (например, слева и справа от асимптоты).

4. Постройте таблицу значений: Выберите несколько значений $xx$ и найдите соответствующие значения $f(x)f(x)$.

5. Нарисуйте график: Учитывайте асимптоты и поведение функции на больших значениях $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }|x|$.

Примеры

Пример 1: Простейшая дробно-рациональная функция

Рассмотрим функцию:

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Вертикальная асимптота: $x=0x\; =\; 0$.

3. Горизонтальная асимптота: $y=0y\; =\; 0$ (степень числителя меньше степени знаменателя).

4. График:

   • В первой четверти: $f(x)>0f(x)\; >\; 0$, $f(x)\to \mathrm{\infty }f(x)\; \backslash to\; \backslash infty$ при $x\to 0^{+}x\; \backslash to\; 0^+$.
   • В третьей четверти: , $f(x)\to -\mathrm{\infty }f(x)\; \backslash to\; -\backslash infty$ при $x\to 0^{-}x\; \backslash to\; 0^-$.

Пример 2: Дробно-рациональная функция с нулями

Рассмотрим функцию:

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{-2\backslash \}.$

2. Вертикальная асимптота: $x=-2x\; =\; -2$.

3. Горизонтальная асимптота: $y=1y\; =\; 1$ (степени числителя и знаменателя равны, коэффициенты при старших степенях: $11$ и $11$).

4. Нули функции:

   $f(x)=0\text{при}x-1=0\Rightarrow x=1.f(x)\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{при\}\; \backslash quad\; x\; -\; 1\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 1.$

   Точка: $(1,0)(1,\; 0)$.

5. График:

   • В левой части график приближается к $y=1y\; =\; 1$ и стремится к $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ около $x=-2x\; =\; -2$.
   • В правой части график приближается к $y=1y\; =\; 1$ и стремится к $\mathrm{\infty }\backslash infty$ около $x=-2x\; =\; -2$.

Пример 3: Дробно-рациональная функция с более сложным знаменателем

Рассмотрим функцию:

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю:

   $x^2-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }\pm 2.x^2\; -\; 4\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; \backslash pm\; 2.$

2. Вертикальные асимптоты:

   $x=2,x=-2.x\; =\; 2,\; \backslash ,\; x\; =\; -2.$

3. Горизонтальная асимптота: Степени числителя и знаменателя равны, коэффициенты при старших степенях: $11$ и $11$. Горизонтальная асимптота:

   $y=1.y\; =\; 1.$

4. Нули функции:

   $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1.x^2\; -\; 1\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; \backslash pm\; 1.$

5. График:

   • Между асимптотами и за их пределами график приближается к $y=1y\; =\; 1$.

Связь с жизнью

1. Физика:
   • Дробно-рациональные функции описывают процессы, зависящие от обратной пропорциональности, например, силу притяжения:

2. Экономика:

   • Функции спроса и предложения часто имеют дробно-рациональный характер.

3. Математика:

   • Дробно-рациональные функции возникают в задачах на асимптоты и предельное поведение.

Задачи для закрепления

1. Найдите область определения функции:

   $f(x)=\frac{2x+3}{x^2-9}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{2x\; +\; 3\}\{x^2\; -\; 9\}.$

2. Постройте график функции:

   $f(x)=\frac{x+1}{x-2}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x\; +\; 1\}\{x\; -\; 2\}.$

3. Определите вертикальные и горизонтальные асимптоты:

   $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 4\}\{x^2\; +\; x\; -\; 2\}.$

4. Найдите нули функции:

   $f(x)=\frac{x^2-1}{x+3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; +\; 3\}.$