Уравнения (8 класс)

Уравнение — это математическое выражение, в котором две части связаны знаком равенства. Решение уравнения — это значение переменной, при котором равенство становится верным.

Пример:

Части уравнения

1. Левая часть: выражение слева от знака равенства.
2. Правая часть: выражение справа от знака равенства.
3. Переменная: неизвестное значение, которое нужно найти (обозначается буквами, например, $xx$).
4. Корень уравнения: значение переменной, при котором уравнение становится верным.

Пример:

Виды уравнений

1. Линейные уравнения: Уравнения вида:$ax+b=0,ax\; +\; b\; =\; 0,$ где $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

   Пример: $2x+3=7.2x\; +\; 3\; =\; 7.$

2. Квадратные уравнения: Уравнения вида: $a{x}^2+bx+c=0,a\mathrm{\ne }0.ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0,\; \backslash quad\; a\; \backslash neq\; 0.$

   Пример: $x^2-5x+6=0.x^2\; -\; 5x\; +\; 6\; =\; 0.$

3. Дробные (рациональные) уравнения: Уравнения с дробями, содержащими переменные в числителе или знаменателе.

   Пример: $\frac{1}{x}+2=3.\backslash frac\{1\}\{x\}\; +\; 2\; =\; 3.$

4. Иррациональные уравнения: Уравнения с корнями.

   Пример: $\sqrt{x}=4.\backslash sqrt\{x\}\; =\; 4.$

Алгоритм решения уравнений

1. Приведение к стандартному виду: Перенесите все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить $f(x)=0f(x)\; =\; 0$.

2. Упрощение: Выполните упрощение выражения: раскройте скобки, приведите подобные члены.

3. Решение уравнения: Используйте подходящий метод для решения уравнения (например, изоляцию переменной, использование формулы или замену переменной).

4. Проверка корней: Подставьте найденные корни в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они верны.

Примеры

Пример 1: Линейное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

1. Переносим $33$ в правую часть:$2x=7-3.2x\; =\; 7\; -\; 3.$
2. Вычисляем:$2x=4.2x\; =\; 4.$
3. Делим на $22$:$x=2.x\; =\; 2.$

Ответ:

Пример 2: Квадратное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

1. Найдём дискриминант:$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; (-5)^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 6\; =\; 25\; -\; 24\; =\; 1.$
2. Найдём корни:$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2}=\frac{5+1}{2}=3,x\_1\; =\; \backslash frac\{-b\; +\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; +\; \backslash sqrt\{1\}\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{5\; +\; 1\}\{2\}\; =\; 3,$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2}=\frac{5-1}{2}=2.x\_2\; =\; \backslash frac\{-b\; -\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; -\; \backslash sqrt\{1\}\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{5\; -\; 1\}\{2\}\; =\; 2.$

Ответ:

Пример 3: Дробное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

1. Приведём уравнение к стандартному виду:$\frac{1}{x}=1.\backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; 1.$
2. Найдём $xx$:$x=1.x\; =\; 1.$

Ответ:

Пример 4: Иррациональное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

1. Возведём обе стороны в квадрат:$(\sqrt{x}{)}^2=4^2\mathrm{.}(\backslash sqrt\{x\})^2\; =\; 4^2.$
2. Упростим:$x=16.x\; =\; 16.$

Ответ:

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $3x-7=2.3x\; -\; 7\; =\; 2.$

2. Найдите корни:

   $x^2-6x+9=0.x^2\; -\; 6x\; +\; 9\; =\; 0.$

3. Решите дробное уравнение:

   $\frac{2}{x}=4.\backslash frac\{2\}\{x\}\; =\; 4.$

4. Решите уравнение с корнем:

   $\sqrt{x+1}=3.\backslash sqrt\{x\; +\; 1\}\; =\; 3.$