Рациональные уравнения (8 класс)

Введение

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие дроби, числитель и/или знаменатель которых являются алгебраическими выражениями. Такие уравнения решаются с использованием методов приведения к общему знаменателю, логических преобразований и проверки условий допустимости.

Пример:

Основные понятия

Область допустимых значений (ОДЗ)

Область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл (знаменатель не равен нулю).

Пример:

ОДЗ:

Алгоритм решения рациональных уравнений

1. Определить ОДЗ: Найдите значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, и исключите их из области допустимых значений.

2. Умножить на общий знаменатель: Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Убедитесь, что множитель не равен нулю.

3. Решить получившееся уравнение: Полученное уравнение может быть линейным, квадратным или более сложным.

4. Проверить корни: Исключите из ответа те корни, которые не входят в ОДЗ.

Примеры

Пример 1: Простое рациональное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

1. Определяем ОДЗ:

   $x\mathrm{\ne }0.x\; \backslash neq\; 0.$

2. Умножаем на общий знаменатель $xx$:

   $2=x\mathrm{.}2\; =\; x.$

3. Проверяем:

   $x=2\text{(удовлетворяет ОДЗ)}\mathrm{.}x\; =\; 2\; \backslash quad\; \backslash text\{(удовлетворяет\; ОДЗ)\}.$

Ответ:

Пример 2: Уравнение с одинаковыми знаменателями

Решите уравнение:

Решение:

1. Определяем ОДЗ:

   $x-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }2.x\; -\; 2\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 2.$

2. Умножаем на общий знаменатель $x-2x\; -\; 2$:

   $x+1=2.x\; +\; 1\; =\; 2.$

3. Решаем:

   $x=1.x\; =\; 1.$

4. Проверяем:

   $x=1\text{(удовлетворяет ОДЗ)}\mathrm{.}x\; =\; 1\; \backslash quad\; \backslash text\{(удовлетворяет\; ОДЗ)\}.$

Ответ:

Пример 3: Уравнение с разными знаменателями

Решите уравнение:

Решение:

1. Определяем ОДЗ:

   $x+1\mathrm{\ne }0,x-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-1,x\mathrm{\ne }1.x\; +\; 1\; \backslash neq\; 0,\; \backslash quad\; x\; -\; 1\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; -1,\; \backslash ,\; x\; \backslash neq\; 1.$

2. Умножаем на общий знаменатель $(x+1)(x-1)(x\; +\; 1)(x\; -\; 1)$:

   $(x-1)+(x+1)=(x+1)(x-1)\mathrm{.}(x\; -\; 1)\; +\; (x\; +\; 1)\; =\; (x\; +\; 1)(x\; -\; 1).$

3. Упрощаем:

   $2x=x^2-1.2x\; =\; x^2\; -\; 1.$

4. Переносим всё в одну часть:

   $x^2-2x-1=0.x^2\; -\; 2x\; -\; 1\; =\; 0.$

5. Решаем квадратное уравнение:

   $x=1\pm \sqrt{2}\mathrm{.}x\; =\; 1\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{2\}.$

6. Проверяем на ОДЗ:

   • $x=1+\sqrt{2}x\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{2\}$ подходит,
   • $x=1-\sqrt{2}x\; =\; 1\; -\; \backslash sqrt\{2\}$ подходит.

Ответ:

Особые случаи

1. Нули в знаменателе: Если корень уравнения обращает знаменатель в ноль, он исключается из решения.

2. Тождественное равенство: Если после упрощения уравнение выполняется для всех $xx$ (например, $0=00\; =\; 0$), то решение — весь ОДЗ.

3. Противоречие: Если уравнение сводится к невозможному равенству (например, $0=10\; =\; 1$), решений нет.

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Скорость: $v=\frac{s}{t}v\; =\; \backslash frac\{s\}\{t\}$.

2. Экономика:

   • Производительность: $P=\frac{Q}{T}P\; =\; \backslash frac\{Q\}\{T\}$.

3. Информатика:

   • Оценка сложности алгоритма, выраженного через дробные функции.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $\frac{2}{x}=4.\backslash frac\{2\}\{x\}\; =\; 4.$

2. Найдите $xx$:

   $\frac{x+1}{x-2}=3.\backslash frac\{x\; +\; 1\}\{x\; -\; 2\}\; =\; 3.$

3. Решите уравнение с разными знаменателями:

   $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=0.\backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\; -\; 1\}\; =\; 0.$

4. Проверьте корни на ОДЗ:

   $\frac{x^2-4}{x+2}=x\mathrm{.}\backslash frac\{x^2\; -\; 4\}\{x\; +\; 2\}\; =\; x.$