Линейная функция

Линейная функция — это функция вида: $f(x)=kx+b,f(x)\; =\; kx\; +\; b,$ где: $kk$ — угловой коэффициент, отвечает за наклон прямой, $bb$ — свободный член, определяет точку пересечения графика с осью $yy$, $xx$ — независимая переменная (аргумент функции).

Пример:

Основные свойства линейной функции

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\text{(все реальные числа)}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash quad\; \backslash text\{(все\; реальные\; числа)\}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\text{(все реальные числа)}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash quad\; \backslash text\{(все\; реальные\; числа)\}.$

3. График: График линейной функции — это прямая линия.

4. Влияние коэффициентов:
   
   

   • $kk$ (угловой коэффициент):

   • Если $k>0k\; >\; 0$, прямая возрастает.

   • Если , прямая убывает.

   • Если $k=0k\; =\; 0$, график — горизонтальная линия.

   • $bb$ (свободный член) — определяет точку пересечения графика с осью $yy$ ($yy$ при $x=0x\; =\; 0$).

Построение графика линейной функции

Чтобы построить график линейной функции, выполните следующие шаги:

1. Найдите две точки, принадлежащие прямой: Подставьте два любых значения $xx$ в формулу функции, чтобы найти соответствующие $yy$.
2. Нанесите точки на координатную плоскость.
3. Проведите прямую линию через эти точки.

Примеры

Пример 1: Построение графика

Построим график функции:

1. Найдём две точки:

   • Для $x=0x\; =\; 0$: $f(0)=2\cdot 0-1=-1f(0)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; =\; -1$ $\Rightarrow (0,-1)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; -1)$.
   • Для $x=2x\; =\; 2$: $f(2)=2\cdot 2-1=3f(2)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; -\; 1\; =\; 3$ $\Rightarrow (2,3)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (2,\; 3)$.

2. Наносим точки $(0,-1)(0,\; -1)$ и $(2,3)(2,\; 3)$ на координатную плоскость.

3. Проводим прямую через эти точки.

Пример 2: Линейная функция с $k=0k\; =\; 0$

Рассмотрим функцию:

• Для всех значений $xx$ значение $f(x)=3f(x)\; =\; 3$.
• График — горизонтальная линия, проходящая через точку $(0,3)(0,\; 3)$.

Пример 3: Линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом

Построим график функции:

1. Найдём две точки:

   • Для $x=0x\; =\; 0$: $f(0)=-0+4=4f(0)\; =\; -0\; +\; 4\; =\; 4$ $\Rightarrow (0,4)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; 4)$.
   • Для $x=2x\; =\; 2$: $f(2)=-(2)+4=2f(2)\; =\; -(2)\; +\; 4\; =\; 2$ $\Rightarrow (2,2)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (2,\; 2)$.

2. Наносим точки $(0,4)(0,\; 4)$ и $(2,2)(2,\; 2)$ на координатную плоскость.

3. Проводим прямую через эти точки.

Связь с жизнью

1. Физика:

   • Уравнение равномерного движения: $s=vt,s\; =\; vt,$ где $ss$ — путь, $vv$ — скорость, $tt$ — время.

2. Экономика:

   • Зависимость дохода от количества проданных товаров: $R=px+b,R\; =\; px\; +\; b,$ где $pp$ — цена товара, $xx$ — количество товаров, $bb$ — начальная сумма.

3. Геометрия:

   • Уравнение прямой в координатной плоскости.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=3x+2.f(x)\; =\; 3x\; +\; 2.$

2. Найдите точку пересечения графика с осью $yy$:

   $f(x)=-2x+5.f(x)\; =\; -2x\; +\; 5.$

3. Определите, возрастает или убывает функция:

   $f(x)=-4x+1.f(x)\; =\; -4x\; +\; 1.$

4. Постройте график функции:

   $f(x)=x-3.f(x)\; =\; x\; -\; 3.$