Площадь треугольника

Площадь треугольника — это величина, которая характеризует размер внутренней части треугольника. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и т. д.).

Формулы для нахождения площади треугольника

1. Общая формула через основание и высоту: Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h,S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; h,$

   где:

   • ( a ) — длина основания треугольника,
   • ( h ) — высота, опущенная на это основание (перпендикуляр от вершины до основания).

   Примечание: Высота ( h ) всегда перпендикулярна к основанию.

Пример 1

Найти площадь треугольника, если его основание равно 8 см, а высота — 5 см.

Решение: Используем формулу для площади:

Ответ: Площадь треугольника равна 20 см².

Формула Герона

Если известны все три стороны треугольника (a), (b), и (c), то площадь можно вычислить по формуле Герона:

где (p) — полупериметр треугольника, который вычисляется как:

Пример 2

Найти площадь треугольника, если его стороны равны (a = 6) см, (b = 8) см и (c = 10) см.

Решение:

1. Находим полупериметр:

   $p=\frac{6+8+10}{2}=12.p\; =\; \backslash frac\{6\; +\; 8\; +\; 10\}\{2\}\; =\; 12.$

2. Подставляем в формулу Герона:

   $S=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}=\sqrt{576}=24.S\; =\; \backslash sqrt\{12(12\; -\; 6)(12\; -\; 8)(12\; -\; 10)\}\; =\; \backslash sqrt\{12\; \backslash times\; 6\; \backslash times\; 4\; \backslash times\; 2\}\; =\; \backslash sqrt\{576\}\; =\; 24.$

Ответ: Площадь треугольника равна 24 см².

Площадь треугольника через угол между сторонами

Если известны две стороны (a) и (b) треугольника и угол ( \alpha ) между ними, то площадь можно вычислить по формуле:

где:

• ( a ) и ( b ) — длины двух сторон,
• ( \alpha ) — угол между ними (в градусах или радианах).

Пример 3

Найти площадь треугольника, если его стороны (a = 7) см, (b = 9) см, а угол между ними ( \alpha = 60^\circ ).

Решение:

1. Используем формулу для площади:

   $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 9\cdot \sin (60^{\circ })\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; \backslash sin(60^\backslash circ).$

2. Значение ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому:

   $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{63\cdot \sqrt{3}}{4}\approx 27.24{\text{ см}}^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{63\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\; \backslash approx\; 27.24\; \backslash text\{\; см\}^2.$

Ответ: Площадь треугольника примерно равна 27.24 см².

Особые случаи

1. Прямоугольный треугольник: Для прямоугольного треугольника, где (c) — гипотенуза, а (a) и (b) — катеты, площадь рассчитывается по формуле:

   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; b.$

   Пример: Если (a = 6) см и (b = 8) см, то:

   $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24{\text{ см}}^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 8\; =\; 24\; \backslash text\{\; см\}^2.$

2. Равнобедренный треугольник: Для равнобедренного треугольника, если известна длина боковой стороны (a) и основание (b), можно вычислить высоту через формулу:

   $h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}\mathrm{.}h\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{2\}\backslash right)^2\}.$

   Затем использовать формулу для площади:

   $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; b\; \backslash cdot\; h.$

Задачи для закрепления

1. Задача 1: Найдите площадь треугольника с основанием (b = 10) см и высотой (h = 6) см.
2. Задача 2: Рассчитайте площадь треугольника с сторонами (a = 5) см, (b = 12) см и (c = 13) см, используя формулу Герона.
3. Задача 3: Найдите площадь треугольника, если длины двух его сторон (a = 8) см и (b = 6) см, а угол между ними ( \alpha = 90^\circ ).
4. Задача 4: В прямоугольном треугольнике катеты равны (7) см и (24) см. Найдите его площадь.

Заключение

Площадь треугольника — это важный параметр, который можно вычислить различными способами, в зависимости от известной информации. Использование формулы через основание и высоту является самым простым методом, однако для сложных треугольников часто применяются формулы Герона или через угол между сторонами.