Степенная функция

Степенная функция — это функция вида: $f(x)=x^n,f(x)\; =\; x^n,$ где: $nn$ — любое действительное число (показатель степени), $xx$ — независимая переменная.

Примеры степенных функций:

1. $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ (квадратичная функция),
2. $f(x)=x^{-1}f(x)\; =\; x^\{-1\}$ (обратная функция),
3. $f(x)=x^{1\mathrm{/}2}f(x)\; =\; x^\{1/2\}$ (функция корня).

Основные виды степенных функций

1. Целые положительные степени ($n>0n\; >\; 0$, $n\in \mathbb{Z}n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$):

   • Пример: $f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^3$.
   • График возрастает для $x>0x\; >\; 0$ и .

2. Целые отрицательные степени (, $n\in \mathbb{Z}n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$):

   • Пример: $f(x)=x^{-2}f(x)\; =\; x^\{-2\}$.
   • Функция имеет вертикальную асимптоту при $x=0x\; =\; 0$.

3. Дробные степени ($n=\frac{p}{q}n\; =\; \backslash frac\{p\}\{q\}$, где $p,q\in \mathbb{Z}p,\; q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$):

   • Пример: $f(x)=x^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{x}f(x)\; =\; x^\{1/2\}\; =\; \backslash sqrt\{x\}$.
   • Определена только для $x\ge 0x\; \backslash geq\; 0$.

Основные свойства степенной функции

1. Область определения: Зависит от значения $nn$:

   • Если $n>0n\; >\; 0$ (целое): $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Если : $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$.
   • Если $n=\frac{p}{q}n\; =\; \backslash frac\{p\}\{q\}$, $qq$ чётное: $D(f)=[0,\mathrm{\infty })D(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.

2. Область значений:

   • Зависит от чётности или нечётности $nn$ и области определения.

3. Чётность и нечётность:

   • Если $nn$ — чётное, функция чётная: $f(-x)=f(x)f(-x)\; =\; f(x)$.
   • Если $nn$ — нечётное, функция нечётная: $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$.

4. Монтоность:

   • Для $n>0n\; >\; 0$, функция возрастает для $x>0x\; >\; 0$ и .
   • Для , функция убывает.

5. Асимптоты:

   • Для , $x\to 0x\; \backslash to\; 0$: вертикальная асимптота.

Графики степенных функций

Примеры:

1. $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ (чётная степень):

   • График — парабола, симметрична относительно оси $yy$.
   • Область определения: $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Область значений: $E(f)=[0,\mathrm{\infty })E(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.

2. $f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^3$ (нечётная степень):

   • График проходит через начало координат.
   • Область определения: $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Область значений: $E(f)=\mathbb{R}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.

3. $f(x)=x^{-1}f(x)\; =\; x^\{-1\}$ (обратная функция):

   • График имеет две гиперболические ветви.
   • Область определения: $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$.
   • Область значений: $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$.

4. $f(x)=x^{1\mathrm{/}2}f(x)\; =\; x^\{1/2\}$ (квадратный корень):

   • График определён только для $x\ge 0x\; \backslash geq\; 0$.
   • Область определения: $D(f)=[0,\mathrm{\infty })D(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.
   • Область значений: $E(f)=[0,\mathrm{\infty })E(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.

Связь с другими функциями

1. Показательная функция: Показательная функция $a^{x}a^x$ не является степенной функцией, так как переменная находится в показателе степени.

2. Логарифмическая функция: Логарифмическая функция ${\log }_{a}x\backslash log\_a\; x$ обратна к показательной, но связана со степенной функцией через преобразования.

Примеры задач

Пример 1: Построение графика

Постройте график функции:

1. Свойства:

   • Чётная степень.
   • Симметрична относительно оси $yy$.
   • График возрастает для $x>0x\; >\; 0$ и .

2. Таблица значений:

3. График: Постройте точки $(-2,16)(-2,\; 16)$, $(-1,1)(-1,\; 1)$, $(0,0)(0,\; 0)$, $(1,1)(1,\; 1)$, $(2,16)(2,\; 16)$.

Пример 2: Решение уравнения

Решите уравнение:

Решение:

1. Представим $88$ как степень:$x^3=2^3\mathrm{.}x^3\; =\; 2^3.$
2. Сравняем степени:$x=2.x\; =\; 2.$

Ответ:

Пример 3: Найдите область определения

Найдите область определения функции:

Решение:

1. Условие: знаменатель не равен нулю.
2. Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

Применение степенных функций

1. Физика:

   • Закон всемирного тяготения:$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\mathrm{.}F\; =\; \backslash frac\{Gm\_1m\_2\}\{r^2\}.$

2. Экономика:

   • Закон уменьшения отдачи: $P=C{x}^{-1}P\; =\; Cx^\{-1\}$.

3. Математика:

   • Степенные ряды, разложение функций в ряды Тейлора.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=x^{-3}\mathrm{.}f(x)\; =\; x^\{-3\}.$

2. Найдите область определения и область значений функции:

   $f(x)=x^{1\mathrm{/}3}\mathrm{.}f(x)\; =\; x^\{1/3\}.$

3. Решите уравнение:

   $x^{1\mathrm{/}2}=4.x^\{1/2\}\; =\; 4.$

4. Сравните функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ и $g(x)=x^{3}g(x)\; =\; x^3$:

   • Найдите точки их пересечения.
   • Определите, какая функция быстрее возрастает.