Куб суммы

Куб суммы — это одна из формул сокращённого умножения, которая упрощает возведение в третью степень суммы двух выражений. Эта формула используется для упрощения алгебраических выражений, вычислений и преобразований.

Формула

Формула куба суммы: $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3(a\; +\; b)^3\; =\; a^3\; +\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; +\; b^3$, где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Чтобы вывести формулу, нужно раскрыть произведение $(a+b{)}^3(a\; +\; b)^3$:

Сначала раскрываем $(a+b)(a+b)(a\; +\; b)(a\; +\; b)$:

Теперь умножаем $(a^2+2ab+b^2)(a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2)$ на $(a+b)(a\; +\; b)$:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Найдём $(2+3{)}^3(2\; +\; 3)^3$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Найдём $(x+4{)}^3(x\; +\; 4)^3$:

Пример 3: Сложное выражение

Найдём $(2a+3b{)}^3(2a\; +\; 3b)^3$:

Свойства

1. Симметрия: $(a+b{)}^3=(b+a{)}^3\mathrm{.}(a\; +\; b)^3\; =\; (b\; +\; a)^3.$

2. Универсальность:

   • Применяется для любых чисел и переменных.

3. Работа с отрицательными числами:

   • Для формула превращается в куб разности:

Примеры из жизни

1. Геометрия:
   • Объём куба со стороной $(a+b)(a\; +\; b)$:

2. Физика:

   • Формулы для расчётов объёмов и пропорций.

3. Экономика:

   • Расчёт сложных процентов, выраженных в кубической зависимости.

Задачи для закрепления

1. Упростите выражение:

   $(x+2{)}^3\mathrm{.}(x\; +\; 2)^3.$

2. Найдите значение:

   $(4+3{)}^3\mathrm{.}(4\; +\; 3)^3.$

3. Упростите:

   $(2a+b{)}^3\mathrm{.}(2a\; +\; b)^3.$

4. Преобразуйте:

   $(x+y+z{)}^3\text{(раскрывая поэтапно)}\mathrm{.}(x\; +\; y\; +\; z)^3\; \backslash quad\; \backslash text\{(раскрывая\; поэтапно)\}.$