Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции — это функции, которые являются обратными к основным тригонометрическим функциям: $\sin (x)\backslash sin\; (x)$, $\cos (x)\backslash cos\; (x)$, $\tan (x)\backslash tan\; (x)$, $\cot (x)\backslash cot\; (x)$.

Обозначения обратных тригонометрических функций:

• $\arcsin (x)\backslash arcsin\; (x)$ — арксинус,

• $\arccos (x)\backslash arccos\; (x)$ — арккосинус,

• $\arctan (x)\backslash arctan\; (x)$ — арктангенс,

• $\mathrm{arcctg}(x)\backslash arcctg\; (x)$ — арккотангенс.

Обратные тригонометрические функции определяют угол, соответствующий заданному значению тригонометрической функции.

Основные свойства обратных тригонометрических функций

1. Арксинус ($\arcsin (x)\backslash arcsin\; (x)$)

Определение: Арксинус $xx$ — это такой угол $yy$, что:

• Область определения:$D(\arcsin )=[-1,1]\mathrm{.}D(\backslash arcsin)\; =\; [-1,\; 1].$
• Область значений:$E(\arcsin )=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\mathrm{.}E(\backslash arcsin)\; =\; \backslash left[-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right].$

2. Арккосинус ($\arccos (x)\backslash arccos\; (x)$)

Определение: Арккосинус $xx$ — это такой угол $yy$, что:

• Область определения:$D(\arccos )=[-1,1]\mathrm{.}D(\backslash arccos)\; =\; [-1,\; 1].$
• Область значений:$E(\arccos )=[0,\pi ]\mathrm{.}E(\backslash arccos)\; =\; [0,\; \backslash pi].$

3. Арктангенс ($\arctan (x)\backslash arctan\; (x)$)

Определение: Арктангенс $xx$ — это такой угол $yy$, что:

• Область определения:$D(\arctan )=\mathbb{R}\mathrm{.}D(\backslash arctan)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
• Область значений:$E(\arctan )=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\mathrm{.}E(\backslash arctan)\; =\; \backslash left(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right).$

4. Арккотангенс ($\mathrm{arcctg}(x)\backslash arcctg(x)$)

Определение: Арккотангенс $xx$ — это такой угол $yy$, что:

• Область определения:$D(\mathrm{arcctg})=\mathbb{R}\mathrm{.}D(\backslash arcctg)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
• Область значений:$E(\mathrm{arcctg})=(0,\pi )\mathrm{.}E(\backslash arcctg)\; =\; (0,\; \backslash pi).$

Графики обратных тригонометрических функций

1. График $\arcsin (x)\backslash arcsin\; (x)$

• Лежит в диапазоне $[-1,1][-1,\; 1]$ по $xx$ и $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}][-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}]$ по $yy$.
• Угловая точка: $(0,0)(0,\; 0)$.

2. График $\arccos (x)\backslash arccos(x)$

• Лежит в диапазоне $[-1,1][-1,\; 1]$ по $xx$ и $[0,\pi ][0,\; \backslash pi]$ по $yy$.
• Угловая точка: $(1,0)(1,\; 0)$.

3. График $\arctan (x)\backslash arctan\; (x)$

• Лежит в диапазоне $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })(-\backslash infty,\; \backslash infty)$ по $xx$ и $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\})$ по $yy$.
• График асимптотически приближается к горизонтальным линиям $y=\pm \frac{\pi }{2}y\; =\; \backslash pm\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$.

4. График $\mathrm{arcctg}(x)\backslash arcctg(x)$

• Лежит в диапазоне $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })(-\backslash infty,\; \backslash infty)$ по $xx$ и $(0,\pi )(0,\; \backslash pi)$ по $yy$.
• График асимптотически приближается к горизонтальным линиям $y=0y\; =\; 0$ и $y=\pi y\; =\; \backslash pi$.

Связь между обратными тригонометрическими функциями

1. Связь между $\arcsin \backslash arcsin$ и $\arccos \backslash arccos$:

   $\arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}\backslash arcsin(x)\; +\; \backslash arccos\; (x)=\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}.$

2. Связь между $\arctan \backslash arctan$ и $\mathrm{arcctg}\backslash arcctg$:

   $\arctan (x)+\mathrm{arcctg}(x)=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}\backslash arctan\; (x)\; +\; \backslash arcctg\; (x)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}.$

Примеры

Пример 1: Вычисление арксинуса

Найдите:

Решение:

Ответ:

Пример 2: Вычисление арккосинуса

Найдите:

Решение:

Ответ:

Пример 3: Вычисление арктангенса

Найдите:

Решение:

Ответ:

Связь с жизнью

1. Геометрия:

   • Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов в треугольниках.

2. Физика:

   • Применяются для расчёта углов в задачах о волнах, гармоническом движении.

3. Информатика:

   • Используются в графике и моделировании трёхмерных объектов.

Задачи для закрепления

1. Найдите значение:

   $\arcsin (\frac{1}{2})\mathrm{.}\backslash arcsin\; (\backslash frac\{1\}\{2\}).$

2. Вычислите:

   $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})\mathrm{.}\backslash arccos\; \backslash left(-\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash right).$

3. Найдите:

   $\arctan (\sqrt{3})\mathrm{.}\backslash arctan\; (\backslash sqrt\{3\}).$

4. Вычислите:

   $\mathrm{arcctg}(1)\mathrm{.}\backslash arcctg\; (1).$