НОК и НОД чисел

НОК (Наименьшее Общее Кратное) — это наименьшее число, которое делится на оба заданных числа без остатка.

НОД (Наибольший Общий Делитель) — это наибольшее число, которое делит оба заданных числа без остатка.

Свойства НОК и НОД

1. Связь между НОК и НОД:

   $\text{НОК}(a,b)\cdot \text{НОД}(a,b)=\mathrm{\mid }a\cdot b\mathrm{\mid }\mathrm{.}\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; \backslash cdot\; \backslash text\{НОД\}(a,\; b)\; =\; |a\; \backslash cdot\; b|.$

2. НОК:

   • Всегда больше или равно каждому из чисел.
   • Делится на оба числа без остатка.

3. НОД:

   • Всегда меньше или равен меньшему из чисел.
   • Делит оба числа нацело.

4. Если одно из чисел делит другое:

   • $\text{НОД}(a,b)=\min (a,b)\backslash text\{НОД\}(a,\; b)\; =\; \backslash min(a,\; b)$.
   • $\text{НОК}(a,b)=\max (a,b)\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; =\; \backslash max(a,\; b)$.

Методы нахождения НОК

1. Через перечисление кратных:

   • Перечислить кратные каждого числа.
   • Найти наименьшее общее кратное.

2. Через НОД:

   • Использовать формулу:$\text{НОК}(a,b)=\frac{\mathrm{\mid }a\cdot b\mathrm{\mid }}{\text{НОД}(a,b)}\mathrm{.}\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; =\; \backslash frac\{|a\; \backslash cdot\; b|\}\{\backslash text\{НОД\}(a,\; b)\}.$

3. Через разложение на простые множители:

   • Разложить оба числа на множители.
   • Для каждого простого числа взять максимальную степень.

Методы нахождения НОД

1. Алгоритм Евклида:

   • Делить большее число на меньшее.
   • Заменить большее число на остаток.
   • Повторять, пока остаток не станет 0. Последнее ненулевое число — это НОД.

2. Через разложение на простые множители:

   • Разложить оба числа на множители.
   • Для каждого общего простого числа взять минимальную степень.

Примеры

Пример 1: НОК через перечисление

Найдём $\text{НОК}(6,8)\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)$.

1. Кратные числа для 6: $6,12,18,24,30,\dots 6,\; 12,\; 18,\; 24,\; 30,\; \backslash ldots$.
2. Кратные числа для 8: $8,16,24,32,40,\dots 8,\; 16,\; 24,\; 32,\; 40,\; \backslash ldots$.
3. Наименьшее общее кратное — 24.

Ответ: $\text{НОК}(6,8)=24\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)\; =\; 24$.

Пример 2: НОК через НОД

Найдём $\text{НОК}(15,20)\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)$.

1. Найдём $\text{НОД}(15,20)\backslash text\{НОД\}(15,\; 20)$ с помощью алгоритма Евклида:

   • $20÷15=120\; \backslash div\; 15\; =\; 1$ (остаток 5),
   • $15÷5=315\; \backslash div\; 5\; =\; 3$ (остаток 0).
   • $\text{НОД}(15,20)=5\backslash text\{НОД\}(15,\; 20)\; =\; 5$.

2. Используем формулу:

   $\text{НОК}(15,20)=\frac{\mathrm{\mid }15\cdot 20\mathrm{\mid }}{5}=\frac{300}{5}=60.\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)\; =\; \backslash frac\{|15\; \backslash cdot\; 20|\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{300\}\{5\}\; =\; 60.$

Ответ: $\text{НОК}(15,20)=60\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)\; =\; 60$.

Пример 3: НОД через разложение

Найдём $\text{НОД}(48,60)\backslash text\{НОД\}(48,\; 60)$.

1. Разложим числа на простые множители:

   • $48=2^4\cdot 348\; =\; 2^4\; \backslash cdot\; 3$,
   • $60=2^2\cdot 3\cdot 560\; =\; 2^2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 5$.

2. Найдём общие множители:

   • Общие множители: $22$ и $33$,
   • Общие степени: $2^{2}2^2$ и $3^{1}3^1$.

3. Перемножим:

   $\text{НОД}(48,60)=2^2\cdot 3=12.\backslash text\{НОД\}(48,\; 60)\; =\; 2^2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 12.$

Ответ: $\text{НОД}(48,60)=12\backslash text\{НОД\}(48,\; 60)\; =\; 12$.

Пример 4: НОК через разложение

Найдём $\text{НОК}(18,24)\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)$.

1. Разложим числа на простые множители:

   • $18=2\cdot 3^{2}18\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3^2$,
   • $24=2^3\cdot 324\; =\; 2^3\; \backslash cdot\; 3$.

2. Для каждого множителя возьмём максимальную степень:

   • $2^{3}2^3$ и $3^{2}3^2$.

3. Перемножим:

   $\text{НОК}(18,24)=2^3\cdot 3^2=72.\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)\; =\; 2^3\; \backslash cdot\; 3^2\; =\; 72.$

Ответ: $\text{НОК}(18,24)=72\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)\; =\; 72$.

Применение НОК и НОД

1. Упрощение дробей:

   • Для сокращения дроби находим НОД числителя и знаменателя.

   Пример: $\frac{36}{48}\backslash frac\{36\}\{48\}$. Найдём $\text{НОД}(36,48)=12\backslash text\{НОД\}(36,\; 48)\; =\; 12$:

   $\frac{36}{48}=\frac{36÷12}{48÷12}=\frac{3}{4}\mathrm{.}\backslash frac\{36\}\{48\}\; =\; \backslash frac\{36\; \backslash div\; 12\}\{48\; \backslash div\; 12\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{4\}.$

2. Приведение дробей к общему знаменателю:

   • Для сложения/вычитания дробей находим НОК знаменателей.

   Пример: $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ и $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$. Найдём $\text{НОК}(6,8)=24\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)\; =\; 24$:

   $\frac{1}{6}=\frac{4}{24},\frac{1}{8}=\frac{3}{24}\mathrm{.}\backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{24\},\; \backslash quad\; \backslash frac\{1\}\{8\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{24\}.$

3. Решение задач на цикличность:

   • НОК используется для нахождения времени, когда два события совпадут.

   Пример: Автобус ходит каждые 15 минут, а поезд каждые 20 минут. Когда они прибудут одновременно?

   $\text{НОК}(15,20)=60\text{минут}\mathrm{.}\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)\; =\; 60\; \backslash ,\; \backslash text\{минут\}.$

Задачи для закрепления

1. Найдите $\text{НОК}(12,18)\backslash text\{НОК\}(12,\; 18)$ и $\text{НОД}(12,18)\backslash text\{НОД\}(12,\; 18)$.
2. Упростите дробь $\frac{72}{90}\backslash frac\{72\}\{90\}$.
3. Приведите дроби $\frac{5}{8}\backslash frac\{5\}\{8\}$ и $\frac{7}{12}\backslash frac\{7\}\{12\}$ к общему знаменателю.
4. Решите задачу: Два сигнала мигают каждые 18 и 24 секунды. Через сколько секунд они мигнут одновременно?

Заключение

НОК и НОД — важные инструменты для работы с числами в задачах на делимость, дроби и циклы. Методы их нахождения, такие как разложение на множители и алгоритм Евклида, позволяют решать задачи эффективно. Формула связи между НОК и НОД упрощает их вычисление.