Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, содержащие тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) переменной. Решение тригонометрических уравнений позволяет находить углы или значения, удовлетворяющие заданным условиям.

Основные тригонометрические функции

1. Синус ($\sin x\backslash sin\; x$): отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинус ($\cos x\backslash cos\; x$): отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенс ($\tan x\backslash tan\; x$): отношение $\frac{\sin x}{\cos x}\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\}$.

4. Котангенс ($\cot x\backslash cot\; x$): отношение $\frac{\cos x}{\sin x}\backslash frac\{\backslash cos\; x\}\{\backslash sin\; x\}$.

Основные виды тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида $\sin x=a\backslash sin\; x\; =\; a$

Решение:

Пример:

Решение:

2. Уравнения вида $\cos x=a\backslash cos\; x\; =\; a$

Решение:

Пример:

Решение:

3. Уравнения вида $\tan x=a\backslash tan\; x\; =\; a$

Решение:

Пример:

Решение:

4. Уравнения вида $\cot x=a\backslash cot\; x\; =\; a$

Решение:

Пример:

Решение:

Связи и преобразования тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества:

1. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\backslash sin^2\; x\; +\; \backslash cos^2\; x\; =\; 1$.

2. $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x1\; +\; \backslash tan^2\; x\; =\; \backslash sec^2\; x$.

3. $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x1\; +\; \backslash cot^2\; x\; =\; \backslash csc^2\; x$.

Пример преобразования:

Решить ${\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\backslash sin^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}$.

1. Применим основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\mathrm{.}\backslash sin^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash cos^2\; x\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{4\}.$

2. Решение: $\sin x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash sin\; x\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{2\}.$

3. Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,x=\pi \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}x\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\; +\; 2\backslash pi\; n,\; \backslash ,\; x\; =\; \backslash pi\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\; +\; 2\backslash pi\; n,\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

Сложные уравнения

Уравнения с несколькими тригонометрическими функциями

Пример: $2\sin x+\cos x=0.2\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x\; =\; 0.$

Решение:

1. Разделите обе части уравнения на $\cos x\backslash cos\; x$: $2\tan x+1=0.2\backslash tan\; x\; +\; 1\; =\; 0.$

2. Решите относительно $\tan x\backslash tan\; x$:

   $\tan x=-\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash tan\; x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}.$

3. Ответ:

   $x=\arctan (-\frac{1}{2})+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}x\; =\; \backslash arctan(-\backslash frac\{1\}\{2\})\; +\; \backslash pi\; n,\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

Пример с заменой переменных

Решить: ${\sin }^{2}x-2\sin x+1=0.\backslash sin^2\; x\; -\; 2\backslash sin\; x\; +\; 1\; =\; 0.$

1. Сделаем замену: $t=\sin x\mathrm{.}t\; =\; \backslash sin\; x.$

2. Уравнение примет вид: $t^2-2t+1=0.t^2\; -\; 2t\; +\; 1\; =\; 0.$

3. Решение: $t=1.t\; =\; 1.$

4. Подстановка: $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}\backslash sin\; x\; =\; 1\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; 2\backslash pi\; n,\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Расчёт углов наклона, амплитуд колебаний: $x=\arcsin (\frac{F}{m})x\; =\; \backslash arcsin(\backslash frac\{F\}\{m\})$.

2. Геометрия:

   • Нахождение углов треугольников.

3. Инженерия:

   • Расчёт фазовых углов в цепях переменного тока.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}.$

2. Найдите $xx$:

   $\cos x=-\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash cos\; x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}.$

3. Упростите и решите:

   $2\sin x\cos x=\sin x\mathrm{.}2\backslash sin\; x\; \backslash cos\; x\; =\; \backslash sin\; x.$

4. Решите с заменой:

   $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0.2\backslash cos^2\; x\; -\; \backslash cos\; x\; -\; 1\; =\; 0.$