Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее число, которое делится на оба числа без остатка. Оно используется для нахождения общего знаменателя дробей и решения задач на кратность.

Обозначение: $\text{НОК}(a,b)\backslash text\{НОК\}(a,\; b)$.

Свойства НОК

1. НОК всегда больше или равно каждому из чисел: Если $aa$ и $bb$ — натуральные числа, то $\text{НОК}(a,b)\ge \max (a,b)\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; \backslash geq\; \backslash max(a,\; b)$.

2. НОК делится на оба числа: Если $k=\text{НОК}(a,b)k\; =\; \backslash text\{НОК\}(a,\; b)$, то $kk$ делится на $aa$ и $bb$.

3. Связь с НОД: НОК и НОД двух чисел связаны формулой:

   $\text{НОК}(a,b)=\frac{\mathrm{\mid }a\cdot b\mathrm{\mid }}{\text{НОД}(a,b)},\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; =\; \backslash frac\{|a\; \backslash cdot\; b|\}\{\backslash text\{НОД\}(a,\; b)\},$

   где $\text{НОД}(a,b)\backslash text\{НОД\}(a,\; b)$ — наибольший общий делитель.

4. НОК нескольких чисел: Для трёх чисел $aa$, $bb$, $cc$:

   $\text{НОК}(a,b,c)=\text{НОК}(\text{НОК}(a,b),c)\mathrm{.}\backslash text\{НОК\}(a,\; b,\; c)\; =\; \backslash text\{НОК\}(\backslash text\{НОК\}(a,\; b),\; c).$

Методы нахождения НОК

1. Перечисление кратных: Перечислите кратные каждого из чисел и выберите наименьшее общее кратное.

2. Через НОД: Используйте формулу $\text{НОК}(a,b)=\frac{\mathrm{\mid }a\cdot b\mathrm{\mid }}{\text{НОД}(a,b)}\backslash text\{НОК\}(a,\; b)\; =\; \backslash frac\{|a\; \backslash cdot\; b|\}\{\backslash text\{НОД\}(a,\; b)\}$.

3. Разложение на простые множители:

   • Разложите числа на простые множители.
   • Для каждого множителя возьмите максимальную степень, встречающуюся в разложении.

Примеры

Пример 1: НОК через перечисление кратных

Найдём $\text{НОК}(6,8)\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)$.

1. Кратные числа для 6: $6,12,18,24,30,\dots 6,\; 12,\; 18,\; 24,\; 30,\; \backslash ldots$
2. Кратные числа для 8: $8,16,24,32,40,\dots 8,\; 16,\; 24,\; 32,\; 40,\; \backslash ldots$
3. Наименьшее общее кратное — 24.

Ответ: $\text{НОК}(6,8)=24\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)\; =\; 24$.

Пример 2: НОК через НОД

Найдём $\text{НОК}(15,20)\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)$.

1. Сначала найдём $\text{НОД}(15,20)\backslash text\{НОД\}(15,\; 20)$ с помощью алгоритма Евклида:

   • $20÷15=120\; \backslash div\; 15\; =\; 1$ (остаток 5),
   • $15÷5=315\; \backslash div\; 5\; =\; 3$ (остаток 0).
   • $\text{НОД}(15,20)=5\backslash text\{НОД\}(15,\; 20)\; =\; 5$.

2. Используем формулу:

   $\text{НОК}(15,20)=\frac{\mathrm{\mid }15\cdot 20\mathrm{\mid }}{5}=\frac{300}{5}=60.\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)\; =\; \backslash frac\{|15\; \backslash cdot\; 20|\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{300\}\{5\}\; =\; 60.$

Ответ: $\text{НОК}(15,20)=60\backslash text\{НОК\}(15,\; 20)\; =\; 60$.

Пример 3: НОК через разложение на простые множители

Найдём $\text{НОК}(18,24)\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)$.

1. Разложим числа на простые множители:

   • $18=2\cdot 3^{2}18\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3^2$,
   • $24=2^3\cdot 324\; =\; 2^3\; \backslash cdot\; 3$.

2. Для каждого множителя возьмём максимальную степень:

   • $2^{3}2^3$ и $3^{2}3^2$.

3. Перемножим:

   $\text{НОК}(18,24)=2^3\cdot 3^2=72.\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)\; =\; 2^3\; \backslash cdot\; 3^2\; =\; 72.$

Ответ: $\text{НОК}(18,24)=72\backslash text\{НОК\}(18,\; 24)\; =\; 72$.

Применение НОК

1. Приведение дробей к общему знаменателю: Используется для упрощения сложения или вычитания дробей.

   Пример: Для дробей $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ и $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$ нужно найти $\text{НОК}(6,8)=24\backslash text\{НОК\}(6,\; 8)\; =\; 24$, чтобы привести дроби к общему знаменателю.

2. Решение задач на цикличность: НОК помогает определить момент, когда два или более циклических процесса совпадут.

   Пример: Если автобус приезжает каждые 12 минут, а поезд каждые 18 минут, то их одновременное прибытие произойдёт через $\text{НОК}(12,18)=36\backslash text\{НОК\}(12,\; 18)\; =\; 36$ минут.

Задачи для закрепления

1. Найдите $\text{НОК}(12,18)\backslash text\{НОК\}(12,\; 18)$.
2. Вычислите $\text{НОК}(9,15)\backslash text\{НОК\}(9,\; 15)$ через формулу с НОД.
3. Приведите дроби $\frac{5}{8}\backslash frac\{5\}\{8\}$ и $\frac{7}{12}\backslash frac\{7\}\{12\}$ к общему знаменателю.
4. Решите задачу: Два сигнала мигают каждые 15 и 20 секунд. Через сколько секунд они мигнут одновременно?

Заключение

Наименьшее общее кратное — это важное понятие, которое широко используется в математике для работы с кратными, дробями и задачами на цикличность. Методы нахождения НОК, такие как перечисление, использование формулы с НОД и разложение на простые множители, позволяют эффективно решать задачи различного уровня сложности.