Иррациональные числа

Иррациональные числа — это числа, которые невозможно выразить в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$, где $pp$ и $qq$ — целые числа, а $q\mathrm{\ne }0q\; \backslash neq\; 0$. Они дополняют рациональные числа и составляют вместе с ними множество вещественных чисел. Иррациональные числа часто встречаются в геометрии, физике и других областях математики.

В этом конспекте мы рассмотрим:

• Определение иррациональных чисел.
• Примеры иррациональных чисел.
• Свойства иррациональных чисел.
• Примеры их использования.
• Задачи для самостоятельного решения.

Определение

Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде конечной или периодической десятичной дроби. Оно имеет бесконечное и непериодическое десятичное представление.

Примеры иррациональных чисел

1. $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ — длина диагонали квадрата с единичной стороной.

2. $\pi \backslash pi$ — отношение длины окружности к ее диаметру.

3. $ee$ — основание натурального логарифма, часто встречающееся в математическом анализе.

4. $\sqrt{3},\sqrt{5},\dots \backslash sqrt\{3\},\; \backslash sqrt\{5\},\; \backslash dots$ (любое квадратное коренное из несоответствующих квадратам целых чисел).

Примеры рациональных чисел (для сравнения)

• $0.5=\frac{1}{2}0.5\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$

• $-7-7$

• $3.333\dots =\frac{10}{3}3.333\backslash ldots\; =\; \backslash frac\{10\}\{3\}$

Свойства иррациональных чисел

1. Бесконечное непериодическое представление:

   • Десятичное представление иррационального числа не имеет повторяющегося периода.

2. Сложение с рациональным числом:

   • Сумма иррационального числа и рационального числа всегда иррациональна.

3. Произведение с рациональным числом:

   • Произведение иррационального числа на ненулевое рациональное число всегда иррационально.

4. Иррациональное число умножить на само себя:

   • Иногда результат является рациональным (например, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; 2$).

5. Плотность во множестве вещественных чисел:

   • Между любыми двумя рациональными числами всегда найдется иррациональное число.

Операции с иррациональными числами

Сложение и вычитание

Сложение двух иррациональных чисел может дать как иррациональное, так и рациональное число.

Пример:

• $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}\; +\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; 2\backslash sqrt\{2\}$ (иррациональное).
• $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\backslash sqrt\{2\}\; -\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; 0$ (рациональное).

Умножение и деление

Умножение и деление двух иррациональных чисел также может привести как к иррациональному, так и рациональному числу.

Пример:

• $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; 2$ (рациональное).

• $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\}\; =\; \backslash sqrt\{6\}$ (иррациональное).

Пример встроенной формулы

Это пример встроенной математической формулы: $\pi \approx 3.14159\backslash pi\; \backslash approx\; 3.14159$.

Пример блочной формулы

Вот пример блочной математической формулы:

Примеры из жизни

1. Число $\pi \backslash pi$ используется для вычисления длины окружности, площади круга, объемов сфер и цилиндров.

2. $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ возникает при вычислении длины диагонали квадрата.

3. Число $ee$ используется в задачах роста, убывания, и логарифмов.

Задачи для закрепления

1. Докажите, что $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ иррационально.

2. Найдите сумму $\pi +1.5\backslash pi\; +\; 1.5$ и укажите, является ли она иррациональной.

3. Упростите выражение: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{8\}$.

4. Определите, рационально или иррационально число $\sqrt{5}+\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}\; +\; \backslash sqrt\{5\}$.