Квадратичная функция

Определение

Квадратичная функция — это функция, которая записывается в виде: $f(x)=a{x}^2+bx+c,f(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c,$ где: $a,b,ca,\; b,\; c$ — коэффициенты (числа), $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$ (если $a=0a\; =\; 0$, функция становится линейной), $xx$ — независимая переменная (аргумент функции).

Квадратичная функция имеет важные свойства и встречается в различных задачах из физики, экономики, геометрии. Её график называется параболой.

Свойства квадратичной функции

1. Область определения: Квадратичная функция определена для всех значений $xx$:

   $D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$

2. График функции: График квадратичной функции — это парабола:

   • Если $a>0a\; >\; 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если , ветви параболы направлены вниз.

3. Ось симметрии: Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, которая проходит через её вершину. Уравнение оси симметрии:

   $x=-\frac{b}{2a}\mathrm{.}x\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}.$

4. Вершина параболы: Вершина параболы — это точка минимума (если $a>0a\; >\; 0$) или максимума (если ). Координаты вершины:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a},y_{\text{вершина}}=f(-\frac{b}{2a})\mathrm{.}x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\},\; \backslash quad\; y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f\backslash left(-\backslash frac\{b\}\{2a\}\backslash right).$

5. Пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью $yy$: значение $f(x)f(x)$ при $x=0x\; =\; 0$:$f(0)=c\Rightarrow (0,c)\mathrm{.}f(0)\; =\; c\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; c).$
   • Пересечение с осью $xx$: это точки, где $f(x)=0f(x)\; =\; 0$. Найти их можно, решив квадратное уравнение:$a{x}^2+bx+c=0.ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0.$Корни уравнения вычисляются по формуле:$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; 4ac\}\}\{2a\}.$

6. Знак функции:

   • Если $a>0a\; >\; 0$, $f(x)\ge 0f(x)\; \backslash geq\; 0$ между корнями и отрицательна за их пределами.
   • Если , $f(x)\le 0f(x)\; \backslash leq\; 0$ между корнями и положительна за их пределами.

Пример 1: Построение графика функции

Рассмотрим функцию:

1. Определяем направление ветвей: $a=1>0a\; =\; 1\; >\; 0$, значит, ветви направлены вверх.

2. Находим вершину параболы:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3.x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}\; =\; -\backslash frac\{-6\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 3.$

   Значение функции в вершине:

   $y_{\text{вершина}}=f(3)=3^2-6\cdot 3+8=-1.y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f(3)\; =\; 3^2\; -\; 6\; \backslash cdot\; 3\; +\; 8\; =\; -1.$

   Вершина: $(3,-1)(3,\; -1)$.

3. Найдём точки пересечения с осью $xx$:

• Решаем уравнение $x^2-6x+8=0x^2\; -\; 6x\; +\; 8\; =\; 0$:

Точки пересечения: $(2,0)(2,\; 0)$ и $(4,0)(4,\; 0)$.

4. Найдём точку пересечения с осью $yy$:

   $f(0)=0^2-6\cdot 0+8=8.f(0)\; =\; 0^2\; -\; 6\; \backslash cdot\; 0\; +\; 8\; =\; 8.$

   Точка пересечения: $(0,8)(0,\; 8)$.

5. Строим таблицу значений:

6. Рисуем график: Построим точки $(1,3)(1,\; 3)$, $(2,0)(2,\; 0)$, $(3,-1)(3,\; -1)$, $(4,0)(4,\; 0)$, $(5,3)(5,\; 3)$ и соединим их плавной линией.

Пример 2: Анализ функции с отрицательным $aa$

Рассмотрим функцию:

1. Определяем направление ветвей: , значит, ветви направлены вниз.

2. Находим вершину параболы:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=2.x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}\; =\; -\backslash frac\{4\}\{2\; \backslash cdot\; (-1)\}\; =\; 2.$

   Значение функции в вершине:

   $y_{\text{вершина}}=f(2)=-(2^2)+4\cdot 2-3=1.y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f(2)\; =\; -(2^2)\; +\; 4\; \backslash cdot\; 2\; -\; 3\; =\; 1.$

   Вершина: $(2,1)(2,\; 1)$.

3. Находим пересечения с осями:

   • Пересечение с осью $yy$:

     $f(0)=-0^2+4\cdot 0-3=-3\Rightarrow (0,-3)\mathrm{.}f(0)\; =\; -0^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; 0\; -\; 3\; =\; -3\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; -3).$

   • Пересечение с осью $xx$:

   • Решаем уравнение $-x^2+4x-3=0-x^2\; +\; 4x\; -\; 3\; =\; 0$:

     $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-1)\cdot (-3)=16-12=4.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; 4^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; (-1)\; \backslash cdot\; (-3)\; =\; 16\; -\; 12\; =\; 4.$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 2}{-2}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{-4\; \backslash pm\; 2\}\{-2\}.$$x_1=1,x_2=3.x\_1\; =\; 1,\; \backslash quad\; x\_2\; =\; 3.$

     Точки пересечения: $(1,0)(1,\; 0)$ и $(3,0)(3,\; 0)$.

Связь квадратичной функции с жизнью

1. Физика:
   • Траектория тела, брошенного под углом, описывается параболой.
2. Экономика:
   • Задачи оптимизации затрат или прибыли часто имеют квадратичную форму.
3. Геометрия:
   • Параболы используются в зеркалах и антеннах для фокусировки света и радиоволн.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=x^2-5x+6.f(x)\; =\; x^2\; -\; 5x\; +\; 6.$

2. Найдите координаты вершины и постройте график:

   $f(x)=2x^2-4x+1.f(x)\; =\; 2x^2\; -\; 4x\; +\; 1.$

3. Определите направление ветвей и найдите нули функции:

   $f(x)=-3x^2+6x-2.f(x)\; =\; -3x^2\; +\; 6x\; -\; 2.$