Процент

Процент — это одна сотая часть числа, обозначается символом %. Проценты используются для выражения долей, соотношений, изменений и увеличений. Они широко применяются в математике, финансах, статистике и повседневной жизни.

Определение

1. 1% — это $\frac{1}{100}\backslash frac\{1\}\{100\}$ или $0.010.01$ от числа.

2. Если число $xx$ выражено в процентах, то оно равно $x\mathrm{\%}=x\cdot \frac{1}{100}x\backslash \%\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{100\}$.

Пример:

• $25\mathrm{\%}=25\cdot 0.01=0.2525\backslash \%\; =\; 25\; \backslash cdot\; 0.01\; =\; 0.25$.

Преобразования процентов

Перевод процентов в дробь

Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь:

1. Разделите значение на $100100$.

2. Запишите дробь, если возможно, сократите.

Пример:

Перевод процентов в десятичное число

Чтобы перевести проценты в десятичное число:

1. Разделите значение на $100100$ или умножьте на $0.010.01$.

Пример:

Перевод дроби или десятичного числа в проценты

1. Умножьте значение на $100100$ и добавьте знак %.

Пример:

Операции с процентами

Нахождение процента от числа

Чтобы найти $p\mathrm{\%}p\backslash \%$ от числа $xx$, используйте формулу:

Пример:

• $20\mathrm{\%}\text{ от }50=50\cdot 0.2=1020\backslash \%\; \backslash text\{\; от\; \}\; 50\; =\; 50\; \backslash cdot\; 0.2\; =\; 10$.

Увеличение или уменьшение числа на определенный процент

1. Для увеличения числа $xx$ на $p\mathrm{\%}p\backslash \%$:

   $\text{Результат}=x\cdot (1+\frac{p}{100})\mathrm{.}\backslash text\{Результат\}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right).$

2. Для уменьшения числа $xx$ на $p\mathrm{\%}p\backslash \%$:

   $\text{Результат}=x\cdot (1-\frac{p}{100})\mathrm{.}\backslash text\{Результат\}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right).$

Пример:

• Увеличить $200200$ на $15\mathrm{\%}15\backslash \%$: $200\cdot 1.15=230200\; \backslash cdot\; 1.15\; =\; 230$.

• Уменьшить $200200$ на $10\mathrm{\%}10\backslash \%$: $200\cdot 0.9=180200\; \backslash cdot\; 0.9\; =\; 180$.

Нахождение числа по проценту

Если $p\mathrm{\%}p\backslash \%$ от числа равно $yy$, то число $xx$ можно найти по формуле:

Пример:

• Если $30\mathrm{\%}30\backslash \%$ от числа равно $6060$, то число равно:$x=\frac{60\cdot 100}{30}=200.x\; =\; \backslash frac\{60\; \backslash cdot\; 100\}\{30\}\; =\; 200.$

Примеры из жизни

1. Скидки и наценки: Цена товара снижается на $20\mathrm{\%}20\backslash \%$ или увеличивается на $15\mathrm{\%}15\backslash \%$.

2. Банковские проценты: Вклад в банк приносит $5\mathrm{\%}5\backslash \%$ годовых.

3. Изменение величин: Рост или снижение численности населения в процентах.

4. Соотношения: Успеваемость учеников в классе, например $80\mathrm{\%}80\backslash \%$ от всех сдали экзамен.

Задачи для закрепления

1. Найдите $25\mathrm{\%}25\backslash \%$ от $200200$.

2. Увеличьте $150150$ на $20\mathrm{\%}20\backslash \%$.

3. Уменьшите $300300$ на $15\mathrm{\%}15\backslash \%$.

4. Чему равно число, если $40\mathrm{\%}40\backslash \%$ от него составляет $2424$?

5. В магазине товар стоил $500500$ рублей, затем его цена снизилась на $30\mathrm{\%}30\backslash \%$. Чему равна новая цена?