Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $xx$, при которых значение функции равно нулю: $f(x)=0.f(x)\; =\; 0.$

Другими словами, нуль функции — это точка пересечения графика функции с осью $xx$.

Как находить нули функции?

1. Решить уравнение $f(x)=0f(x)\; =\; 0$: Найдите значения $xx$, при которых функция обращается в нуль.

2. Учитывайте область определения: Проверяйте, чтобы найденные значения $xx$ входили в область определения функции.

Свойства нулей функции

1. Графическое представление: Нули функции — это точки на графике, где $y=0y\; =\; 0$ (точки пересечения с осью $xx$).

2. Количество нулей: Зависит от вида функции:

   • У линейной функции $f(x)=kx+bf(x)\; =\; kx\; +\; b$, $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$, всегда один нуль.
   • У квадратичной функции $f(x)=a{x}^2+bx+cf(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$ количество нулей зависит от дискриминанта:
     • $D>0D\; >\; 0$: два нуля,
     • $D=0D\; =\; 0$: один нуль,
     • : нулей нет.
   • У тригонометрических функций может быть бесконечное количество нулей.

Примеры

Пример 1: Линейная функция

Найдём нули функции:

Решение:

1. Уравнение $f(x)=0f(x)\; =\; 0$:$2x-4=0.2x\; -\; 4\; =\; 0.$
2. Решаем:$x=2.x\; =\; 2.$

Ответ: Нуль функции: $x=2x\; =\; 2$.

Пример 2: Квадратичная функция

Найдём нули функции:

Решение:

1. Уравнение $f(x)=0f(x)\; =\; 0$:$x^2-4x+3=0.x^2\; -\; 4x\; +\; 3\; =\; 0.$
2. Решаем квадратное уравнение:$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; (-4)^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 3\; =\; 16\; -\; 12\; =\; 4.$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm 2}{2}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash pm\; 2\}\{2\}.$$x_1=3,x_2=1.x\_1\; =\; 3,\; \backslash quad\; x\_2\; =\; 1.$

Ответ: Нули функции: $x=1x\; =\; 1$, $x=3x\; =\; 3$.

Пример 3: Тригонометрическая функция

Найдём нули функции:

Решение:

1. Уравнение $f(x)=0f(x)\; =\; 0$:$\sin x=0.\backslash sin\; x\; =\; 0.$
2. Решаем:$x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}x\; =\; \backslash pi\; k,\; \backslash quad\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

Ответ: Нули функции: $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}x\; =\; \backslash pi\; k,\; \backslash ,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

Пример 4: Обратная функция

Найдём нули функции:

Решение:

1. Уравнение $f(x)=0f(x)\; =\; 0$:$\frac{1}{x}=0.\backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; 0.$Уравнение не имеет решений.

Ответ: Нулей функции нет.

Применение нулей функции

1. Графическое построение: Нули помогают определить точки пересечения графика с осью $xx$.

2. Корни уравнений: Нули функции совпадают с корнями уравнения $f(x)=0f(x)\; =\; 0$.

3. Экономика: Нули функции используются для определения точки безубыточности (где прибыль равна нулю).

4. Физика: Нули функции используются для анализа колебательных процессов (где амплитуда равна нулю).

Задачи для закрепления

1. Найдите нули функции:

   $f(x)=3x^2-12x+9.f(x)\; =\; 3x^2\; -\; 12x\; +\; 9.$

2. Определите нули функции:

   $f(x)=\cos x\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash cos\; x.$

3. Укажите нули функции:

   $f(x)=\frac{x-2}{x+1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x\; -\; 2\}\{x\; +\; 1\}.$

4. Найдите нули функции:

   $f(x)=x^3-3x\mathrm{.}f(x)\; =\; x^3\; -\; 3x.$