Уравнения

Уравнение — это математическое выражение, в котором два выражения равны между собой. Решение уравнения заключается в нахождении всех значений переменных, при которых это равенство выполняется.

Определение

Уравнение записывается в виде: $f(x)=g(x)f(x)\; =\; g(x)$, где: $f(x)f(x)$ и $g(x)g(x)$ — выражения, содержащие переменные.

Пример:

Типы уравнений

1. Линейные уравнения: Уравнения вида $ax+b=0ax\; +\; b\; =\; 0$, где $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

   • Пример: $2x+3=7\Rightarrow x=2.2x\; +\; 3\; =\; 7\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 2.$

2. Квадратные уравнения: Уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$, где $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

• Формула корней: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\mathrm{.}x\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; 4ac\}\}\{2a\}.$

3. Рациональные уравнения: Уравнения с дробями.

   • Пример: $\frac{1}{x}+2=3\Rightarrow x=1.\backslash frac\{1\}\{x\}\; +\; 2\; =\; 3\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 1.$

4. Иррациональные уравнения: Уравнения с корнями.

   • Пример: $\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16.\backslash sqrt\{x\}\; =\; 4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 16.$

5. Тригонометрические уравнения: Уравнения с тригонометрическими функциями.

   • Пример: $\sin x=\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}.$

6. Экспоненциальные уравнения: Уравнения с экспонентами.

   • Пример: $2^x=8\Rightarrow x=3.2^x\; =\; 8\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 3.$

7. Логарифмические уравнения: Уравнения с логарифмами.

   • Пример: ${\log }_2(x)=3\Rightarrow x=8.\backslash log\_2(x)\; =\; 3\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 8.$

Методы решения уравнений

1. Аналитический метод

Решение путём алгебраических преобразований.

Пример:

2. Метод подстановки

Используется для решения систем уравнений.

Пример:

Подставляем $y=2xy\; =\; 2x$ в первое уравнение:

3. Метод разложения на множители

Используется для уравнений, где можно выделить множители.

Пример:

4. Графический метод

Решение путём построения графиков функций и нахождения точек пересечения.

Пример:

Построим графики $y_1=x^{2}y\_1\; =\; x^2$ и $y_2=x+6y\_2\; =\; x\; +\; 6$, точки пересечения — решения.

Особые случаи уравнений

1. Уравнение имеет одно решение:

   $x^2=4\Rightarrow x=2.x^2\; =\; 4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 2.$

2. Уравнение имеет несколько решений:

   $x^2-4=0\Rightarrow x=2,x=-2.x^2\; -\; 4\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 2,\; \backslash ,\; x\; =\; -2.$

3. Уравнение не имеет решений:

   $x^2+1=0\Rightarrow \text{нет решений в }\mathbb{R}\mathrm{.}x^2\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash text\{нет\; решений\; в\; \}\; \backslash mathbb\{R\}.$

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Уравнение движения:

2. Геометрия:
   • Нахождение длины сторон треугольника:

3. Экономика:
   • Расчёт сложных процентов:

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $3x-7=5.3x\; -\; 7\; =\; 5.$

2. Найдите корни уравнения:

   $x^2-5x+6=0.x^2\; -\; 5x\; +\; 6\; =\; 0.$

3. Упростите:

   $\frac{2x}{x+1}=1.\backslash frac\{2x\}\{x\; +\; 1\}\; =\; 1.$

4. Решите систему уравнений:

   $\{\begin{array}{c}x+y=10,\\ x-y=4.\end{array}\backslash begin\{cases\}\; x\; +\; y\; =\; 10,\; \backslash \backslash \; x\; -\; y\; =\; 4.\; \backslash end\{cases\}$