Куб разности

Куб разности — это одна из формул сокращённого умножения, которая используется для упрощения возведения в третью степень разности двух выражений. Формула помогает быстро раскрывать выражения и применять их для решения задач.

Формула

Формула куба разности: $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3(a\; -\; b)^3\; =\; a^3\; -\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; -\; b^3$, где: $aa$ и $bb$ — любые числа, переменные или выражения.

Вывод формулы

Чтобы вывести формулу, нужно раскрыть произведение $(a-b{)}^3(a\; -\; b)^3$:

Сначала раскрываем $(a-b)(a-b)(a\; -\; b)(a\; -\; b)$:

Теперь умножаем $(a^2-2ab+b^2)(a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2)$ на $(a-b)(a\; -\; b)$:

Примеры

Пример 1: Числовое выражение

Найдём $(5-3{)}^3(5\; -\; 3)^3$:

Пример 2: Алгебраическое выражение

Найдём $(x-4{)}^3(x\; -\; 4)^3$:

Пример 3: Сложное выражение

Найдём $(2a-3b{)}^3(2a\; -\; 3b)^3$:

Свойства

1. Симметрия с кубом суммы:
   • Формула куба разности похожа на формулу куба суммы, но знаки чередуются:

2. Применимость для любых выражений:

   • Формула работает как для чисел, так и для переменных.

3. Универсальность:

   • Куб разности применяется для разложения и преобразования сложных выражений.

Примеры из жизни

1. Геометрия:
   • Объём куба со стороной $(a-b)(a\; -\; b)$:

2. Физика:

   • Расчёты, связанные с объёмами или уменьшением величин.

3. Экономика:

   • Расчёт сложных процентов с использованием разности значений.

Задачи для закрепления

1. Упростите выражение:

   $(x-3{)}^3\mathrm{.}(x\; -\; 3)^3.$

2. Найдите значение:

   $(6-2{)}^3\mathrm{.}(6\; -\; 2)^3.$

3. Упростите:

   $(2a-b{)}^3\mathrm{.}(2a\; -\; b)^3.$

4. Раскройте выражение:

   $(x-y-z{)}^3\text{(раскрывая поэтапно)}\mathrm{.}(x\; -\; y\; -\; z)^3\; \backslash quad\; \backslash text\{(раскрывая\; поэтапно)\}.$