Последовательности

Последовательность — это упорядоченный набор чисел, где каждому элементу соответствует его порядковый номер. Последовательность обычно обозначается как $\{a_n\}\backslash \{a\_n\backslash \}$ или $a_1,a_2,a_3,\dots a\_1,\; a\_2,\; a\_3,\; \backslash ldots$, где $nn$ — натуральный номер элемента.

Пример:

Основные виды последовательностей

1. Арифметическая последовательность: Последовательность, в которой разность между любыми двумя соседними элементами постоянна. Формула:

   $a_n=a_1+(n-1)\cdot d,a\_n\; =\; a\_1\; +\; (n-1)\; \backslash cdot\; d,$

   где $dd$ — разность (шаг).

   Пример:

   $a_n=3+(n-1)\cdot 2\Rightarrow 3,5,7,9,11,\dots a\_n\; =\; 3\; +\; (n-1)\; \backslash cdot\; 2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; 3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11,\; \backslash ldots$

2. Геометрическая последовательность: Последовательность, в которой отношение между любыми двумя соседними элементами постоянно. Формула:

   $a_n=a_1\cdot q^{n-1},a\_n\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; q^\{n-1\},$

   где $qq$ — знаменатель (отношение).

   Пример:

   $a_n=2\cdot 3^{n-1}\Rightarrow 2,6,18,54,162,\dots a\_n\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3^\{n-1\}\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; 2,\; 6,\; 18,\; 54,\; 162,\; \backslash ldots$

3. Убывающая последовательность: Если для всех $nn$ выполнено .

4. Возрастающая последовательность: Если для всех $nn$ выполнено $a_{n+1}>a_{n}a\_\{n+1\}\; >\; a\_n$.

5. Постоянная последовательность: Если для всех $nn$ выполнено $a_n=ca\_n\; =\; c$, где $cc$ — константа.

Предел последовательности

Предел последовательности $\{a_n\}\backslash \{a\_n\backslash \}$ — это число $AA$, к которому члены последовательности приближаются при $n\to \mathrm{\infty }n\; \backslash to\; \backslash infty$:

Пример:

Основные свойства последовательностей

1. Линейность предела:

   ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n+b_n)={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n+{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{.}\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (a\_n\; +\; b\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; +\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n.$

2. Произведение пределов:

   ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n\cdot b_n)={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{.}\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (a\_n\; \backslash cdot\; b\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n.$

3. Частное пределов:

   ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=\frac{{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n}{{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n},\text{если }{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{\ne }0.\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\}\{\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n\},\; \backslash quad\; \backslash text\{если\; \}\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n\; \backslash neq\; 0.$

4. Монотонные последовательности:

   • Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится.
   • Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Бесконечные последовательности

1. Бесконечно малая последовательность: Если ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$, то $\{a_n\}\backslash \{a\_n\backslash \}$ называется бесконечно малой.

   Пример:

   $a_n=\frac{1}{n}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}.$

2. Бесконечно большая последовательность: Если ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash infty$, то $\{a_n\}\backslash \{a\_n\backslash \}$ называется бесконечно большой.

   Пример:

   $a_n=n^2\mathrm{.}a\_n\; =\; n^2.$

Задачи и примеры

Пример 1: Найдите предел последовательности

Дана последовательность:

Решение: Разделим числитель и знаменатель на $nn$:

Предел:

Пример 2: Арифметическая последовательность

Дана последовательность: $3,7,11,15,\dots 3,\; 7,\; 11,\; 15,\; \backslash ldots$. Найдите её 10-й член.

Решение: Формула:

Подставим:

Пример 3: Геометрическая последовательность

Дана последовательность: $2,4,8,16,\dots 2,\; 4,\; 8,\; 16,\; \backslash ldots$. Найдите её 5-й член.

Решение: Формула:

Здесь $a_1=2a\_1\; =\; 2$, $q=2q\; =\; 2$:

Применение последовательностей

1. Математика:

   • Используются для изучения пределов, производных, интегралов.

2. Физика:

   • Моделирование процессов, приближающихся к равновесию.

3. Экономика:

   • Расчёт сложных процентов и финансовых прогнозов.

4. Информатика:

   • Оптимизация алгоритмов.

Задачи для закрепления

1. Найдите предел последовательности:

   $a_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{n^2\; +\; 1\}\{2n^2\; +\; 3\}.$

2. Вычислите 15-й член арифметической последовательности:

   $a_1=5,d=3.a\_1\; =\; 5,\; \backslash ,\; d\; =\; 3.$

3. Найдите сумму первых 5 членов геометрической последовательности:

   $a_1=2,q=3.a\_1\; =\; 2,\; \backslash ,\; q\; =\; 3.$

4. Определите, является ли последовательность убывающей:

   $a_n=\frac{1}{n}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}.$