Экстремум функции

Экстремум функции — это точки, в которых функция достигает локального максимума или локального минимума.

• 
  Локальный максимум: $f(x)f(x)$ имеет локальный максимум в точке $x=cx\; =\; c$, если в некоторой окрестности этой точки $f(c)\ge f(x)f(c)\; \backslash geq\; f(x)$ для всех $xx$ из этой окрестности.

• 
  Локальный минимум: $f(x)f(x)$ имеет локальный минимум в точке $x=cx\; =\; c$, если в некоторой окрестности этой точки $f(c)\le f(x)f(c)\; \backslash leq\; f(x)$ для всех $xx$ из этой окрестности.

Экстремумы функции — это локальные максимумы и минимумы.

Критические точки

Критическая точка функции $f(x)f(x)$ — это точка $x=cx\; =\; c$, в которой производная $f^{\mathrm{\prime }}(c)f\text{'}(c)$ либо равна нулю, либо не существует:

Экстремумы функции могут находиться только в критических точках или на границах области определения.

Условие экстремума

1. Если $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0f\text{'}(c)\; =\; 0$ или $f^{\mathrm{\prime }}(c)f\text{'}(c)$ не существует, точка $x=cx\; =\; c$ является возможным экстремумом.
2. Для определения типа экстремума используют:
   • Первую производную,
   • Вторую производную.

Критерии экстремума

1. Первый производный тест

Рассматривается знак производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ до и после точки $x=cx\; =\; c$:

• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $++$ на $--$, то $f(c)f(c)$ — локальный максимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $--$ на $++$, то $f(c)f(c)$ — локальный минимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ не меняет знак, экстремума нет.

2. Второй производный тест

Рассматривается вторая производная $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$ в точке $x=cx\; =\; c$:

• Если $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0f\text{'}(c)\; =\; 0$ и $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)>0f\text{'}\text{'}(c)\; >\; 0$, то $f(c)f(c)$ — локальный минимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0f\text{'}(c)\; =\; 0$ и , то $f(c)f(c)$ — локальный максимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0f\text{'}(c)\; =\; 0$ и $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0f\text{'}\text{'}(c)\; =\; 0$, тест не даёт ответа.

Примеры

Пример 1: Локальные экстремумы

Найдём локальные экстремумы функции $f(x)=x^3-3x^2+4f(x)\; =\; x^3\; -\; 3x^2\; +\; 4$.

Решение:

1. Найдём производную:

   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x\mathrm{.}f\text{'}(x)\; =\; 3x^2\; -\; 6x.$

2. Решим уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$:

   $3x^2-6x=0\Rightarrow x(3x-6)=0\Rightarrow x=0\text{ или }x=2.3x^2\; -\; 6x\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x(3x\; -\; 6)\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 0\; \backslash text\{\; или\; \}\; x\; =\; 2.$

3. Используем первую производную:

   • При $x\in (-\mathrm{\infty },0)x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; 0)$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ (функция возрастает).
   • При $x\in (0,2)x\; \backslash in\; (0,\; 2)$: (функция убывает).
   • При $x\in (2,\mathrm{\infty })x\; \backslash in\; (2,\; \backslash infty)$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ (функция возрастает).

Вывод:

• $x=0x\; =\; 0$ — локальный максимум.
• $x=2x\; =\; 2$ — локальный минимум.

Пример 2: Использование второй производной

Найдём экстремумы функции $f(x)=x^4-4x^{3}f(x)\; =\; x^4\; -\; 4x^3$.

Решение:

1. Найдём производную:

   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-12x^2\mathrm{.}f\text{'}(x)\; =\; 4x^3\; -\; 12x^2.$

2. Решим уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$:

   $4x^2(x-3)=0\Rightarrow x=0\text{ или }x=3.4x^2(x\; -\; 3)\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 0\; \backslash text\{\; или\; \}\; x\; =\; 3.$

3. Найдём вторую производную:

   $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-24x\mathrm{.}f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 12x^2\; -\; 24x.$

4. Проверим критические точки:

   • При $x=0x\; =\; 0$: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=12\cdot 0^2-24\cdot 0=0f\text{'}\text{'}(0)\; =\; 12\; \backslash cdot\; 0^2\; -\; 24\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$ (тест не даёт ответа).
   • При $x=3x\; =\; 3$: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=12\cdot 3^2-24\cdot 3=108-72=36>0f\text{'}\text{'}(3)\; =\; 12\; \backslash cdot\; 3^2\; -\; 24\; \backslash cdot\; 3\; =\; 108\; -\; 72\; =\; 36\; >\; 0$.

Вывод:

• $x=3x\; =\; 3$ — локальный минимум.
• Точка $x=0x\; =\; 0$ требует дополнительного анализа.

Задачи для закрепления

1. Найдите локальные экстремумы функции $f(x)=x^2-4x+5f(x)\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 5$.
2. Определите экстремумы функции $f(x)=x^3-9x^2+24x+1f(x)\; =\; x^3\; -\; 9x^2\; +\; 24x\; +\; 1$.
3. Используя вторую производную, найдите экстремумы функции $f(x)=x^4-8x^{2}f(x)\; =\; x^4\; -\; 8x^2$.

Заключение

Экстремумы функции — это ключевые точки, которые позволяют исследовать поведение функции и её графика. Они находят применение в оптимизации, анализе процессов и решении прикладных задач. Методы нахождения экстремумов через производные являются основным инструментом для исследования функций.