Биквадратные уравнения (8 класс)

Биквадратные уравнения — это уравнения вида: $a{x}^4+b{x}^2+c=0,ax^4\; +\; bx^2\; +\; c\; =\; 0,$ где: $a,b,ca,\; b,\; c$ — числа (коэффициенты), $x^{4}x^4$ и $x^{2}x^2$ — степени переменной.

Решение биквадратного уравнения похоже на решение квадратного уравнения, только сначала нужно сделать замену переменной.

Алгоритм решения биквадратных уравнений

Шаг 1: Замена переменной

Сделаем замену:

Тогда уравнение становится обычным квадратным уравнением относительно $tt$:

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Решаем это уравнение с помощью формулы дискриминанта:

• Если $D>0D\; >\; 0$, есть два корня: $t_{1}t\_1$ и $t_{2}t\_2$.
• Если $D=0D\; =\; 0$, есть один корень: $t_{1}t\_1$.
• Если , корней нет.

Шаг 3: Вернуться к переменной $xx$

Для каждого корня $tt$ решаем:

• Если $t>0t\; >\; 0$, уравнение имеет два решения:$x=\pm \sqrt{t}\mathrm{.}x\; =\; \backslash pm\backslash sqrt\{t\}.$
• Если $t=0t\; =\; 0$, $x=0x\; =\; 0$.
• Если , решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Пример 1: Простое биквадратное уравнение

Решим уравнение:

1. Замена переменной: $t=x^2\mathrm{.}t\; =\; x^2.$ Уравнение становится: $t^2-5t+4=0.t^2\; -\; 5t\; +\; 4\; =\; 0.$

2. Решаем квадратное уравнение:

3. Дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9.D\; =\; (-5)^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 4\; =\; 25\; -\; 16\; =\; 9.$

4. Корни: $t_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2}=\frac{5+3}{2}=4,t_2=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2}=\frac{5-3}{2}=1.t\_1\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; +\; \backslash sqrt\{9\}\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{5\; +\; 3\}\{2\}\; =\; 4,\; \backslash quad\; t\_2\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; -\; \backslash sqrt\{9\}\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{5\; -\; 3\}\{2\}\; =\; 1.$

5. Вернёмся к $xx$:

   • 
     Для $t_1=4t\_1\; =\; 4$:

• Для $t_2=1t\_2\; =\; 1$:

Ответ:

Пример 2: Биквадратное уравнение с нулями

Решим уравнение:

1. Замена переменной: $t=x^2\mathrm{.}t\; =\; x^2.$

2. Уравнение становится: $t^2-4t=0.t^2\; -\; 4t\; =\; 0.$

3. Вынесем общий множитель: $t(t-4)=0.t(t\; -\; 4)\; =\; 0.$

4. Корни: $t=0,t=4.t\; =\; 0,\; \backslash quad\; t\; =\; 4.$

5. Вернёмся к $xx$:

   • 
     Для $t=0t\; =\; 0$:

• Для $t=4t\; =\; 4$:

Ответ:

Упрощённый алгоритм для 8 класса

1. Сделайте замену $t=x^{2}t\; =\; x^2$.
2. Решите обычное квадратное уравнение (например, с помощью дискриминанта).
3. Найдите $xx$ из уравнения $x^2=tx^2\; =\; t$.
4. Исключите отрицательные $tt$.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $x^4-6x^2+5=0.x^4\; -\; 6x^2\; +\; 5\; =\; 0.$

2. Найдите корни уравнения:

   $x^4-9x^2=0.x^4\; -\; 9x^2\; =\; 0.$

3. Решите:

   $x^4+3x^2+2=0.x^4\; +\; 3x^2\; +\; 2\; =\; 0.$