Задание 25 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Расположим трапецию в координатной плоскости: $A(0,0)$, $D(34,0)$, $B(x,h)$, $C(x+14,h)$. Тогда горизонтальная проекция отрезка $CD$ равна $x-20$.

Пусть $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle D$. Из условия $\alpha+\beta=90^\circ$ получаем $\tan\alpha\tan\beta=1$, то есть $\dfrac{h}{x}\cdot\dfrac{h}{20-x}=1$.$$h^2=x(20-x)$$

Обозначим $AB = x$, $AC = y$. Так как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о секущих:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

С учётом условия $AP = 30$ получаем:$$AK \cdot x = 30y, \qquad AK = \frac{30y}{x}$$

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ является радиусом этой окружности, поэтому $r=7$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. Тогда $OH=7$, $OA=25$, и треугольник $AOH$ прямоугольный. Следовательно, по теореме Пифагора:$$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, а центр окружности $O$ расположим на оси абсцисс: $O=(R,0)$, где $R$ — радиус описанной окружности. Тогда уравнение окружности имеет вид$$(x-R)^2+y^2=R^2$$

Так как точки $B$ и $C$ лежат на этой окружности, а $AB=30$ и $AC=100$, для любой точки $X=(x_X,y_X)$ окружности выполняется $x_X=\dfrac{AX^2}{2R}$. Поэтому$$x_B=\dfrac{30^2}{2R}=\dfrac{450}{R},\qquad x_C=\dfrac{100^2}{2R}=\dfrac{5000}{R}$$

Обозначим $AB = a$, а угол $DAB$ через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD = BC = 2$.

Пусть $u = \dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $A$ образует с основанием $AB$ угол $u$. Биссектриса угла $B$ образует с направлением, параллельным $AB$, угол $u$ с другой стороны.

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(20,h)$. Пусть $E=(0,e)$. Тогда прямая $CD$ имеет уравнение $y=h$, поэтому искомое расстояние равно $|h-e|$.$$d=|h-e|$$

Так как окружность касается прямой $AB$, её уравнение имеет вид$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$

Так как точки $A$, $K$, $B$ лежат на одной секущей, а точки $A$, $P$, $C$ — на другой, применяем теорему о секущих:$$AK\cdot AB=AP\cdot AC$$

Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность. Поэтому треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны: угол при вершине $A$ у них общий, а остальные углы равны как вписанные, опирающиеся на соответствующие дуги.$$\frac{AK}{AB}=\frac{AP}{AC}=\frac{KP}{BC}$$

Обозначим через $u$ и $v$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, угол между диагоналями равен полусумме дуг $AB$ и $CD$, поэтому $u+v=60^\circ$.$$u+v=60^\circ$$

Для хорды длиной $l$ справедливо $l=2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина соответствующего центрального угла. Поэтому$$\sin u=\frac{39}{2R},\qquad \sin v=\frac{12}{2R}$$

Обозначим величину угла $DAB$ через $\alpha$, а длину стороны $AB$ через $x$. Так как $BC = AD = 17$, высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $17\sin\alpha$.

Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов сторон $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов сторон $BA$ и $BC$. При пересечении этих биссектрис…

Расположим $A$ в начале координат, а прямую $AC$ направим вдоль оси абсцисс. Так как расстояние от $O$ до $AC$ равно $5$, а $OA=13$, координаты точки $O$ можно взять в виде $O=(12,5)$.

Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAC$, имеем $\sin \angle OAC=\frac{5}{13}$ и $\cos \angle OAC=\frac{12}{13}$. Поэтому направление луча $AB$ задаётся вектором $\left(\frac{119}{169},\frac{120}{169}\right)$.

Введём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль луча $AC$. Тогда $M=(9,0)$ и $N=(11,0)$. Пусть центр окружности имеет координаты $O=(10,y)$, так как он равноудалён от точек $M$ и $N$.$$R^2=OM^2=(10-9)^2+y^2=1+y^2$$

Обозначим $\alpha=\angle BAC$. Из условия $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$ получаем $\sin\alpha=\dfrac{5}{6}$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.

Выберем координатную ось с началом в точке $A$, направленную вдоль $AO$. Пусть радиус описанной окружности равен $R$. Для любой точки $X$ окружности с координатами $(x,y)$ выполняется уравнение окружности:$$x^2+y^2=2Rx$$

Обозначим $AD=x$. Так как $C$ лежит на окружности и $AC=64$, а угол между $AC$ и осью $AO$ обозначим через $\alpha$, имеем:$$64^2=2R\cdot64\cos\alpha,\qquad R=\frac{32}{\cos\alpha}$$

Введём систему координат: $D=(0,0)$, $A=(0,15)$, а прямая $BC$ совпадает с осью абсцисс. Так как $MD=12$ и точка $M$ лежит между $A$ и $D$, имеем $M=(0,3)$.$$AM=AD-MD=15-12=3$$

Пусть центр окружности, построенной на диаметре $BC$, имеет координаты $(q,0)$, а её радиус равен $R$. Тогда точки $B$ и $C$ можно записать как $B=(q-R,0)$ и $C=(q+R,0)$.

Расположим трапецию на координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$, где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$.

Так как окружность касается прямой $AB$, совпадающей с осью $Oy$, в точке $E$, её уравнение можно записать в виде$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$

Обозначим центры первой и второй окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=45+90=135$$

Пусть угол между линией центров $O_1O_2$ и общей касательной $AC$ равен $\alpha$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общей касательной, поэтому разность расстояний от центров до этой касательной равна $90-45=45$.

Обозначим $AB = m$, $BC = n$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ была вертикальной осью. Тогда можно записать координаты вершин:$$A=(m\sin\alpha, m\cos\alpha),\quad C=(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$$

По теореме о биссектрисе точка $E$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC = AB:BC = m:n$. Поэтому координата $x$ точки $E$ равна нулю, а её координата $y$ равна:$$BE=\frac{2mn\cos\alpha}{m+n}=16$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(7,0)$, $A=(0,h)$, $D=(14,h)$. Пусть $E=(0,e)$.$$AD=14,\quad BC=7$$

Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а радиус равен $r$. Поэтому уравнение окружности имеет вид:$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\varphi$. Разместим точку $B$ в начале координат, а биссектрису $BE$ направим вдоль оси абсцисс. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\varphi,c\sin\varphi),\quad C=(a\cos\varphi,-a\sin\varphi)$$

Так как $D$ — середина отрезка $BC$, её координаты равны:$$D=\left(\frac{a\cos\varphi}{2},-\frac{a\sin\varphi}{2}\right)$$

Диаметр окружности равен $16$, значит её радиус равен $8$. Обозначим центр окружности через $O$.$$OB = OC = 8$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Для точки $B$ рассмотрим её проекцию на прямую $AO$. Так как $OB = OA = R$, из прямоугольного треугольника, образованного радиусом и проекцией, получаем:$$AB^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AB$$

Аналогично для точки $C:$$AC^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AC$$