Решение: Радиус окружности, касательной к лучу
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $11$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Решение по шагам
7 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль луча $AC$. Тогда $M=(9,0)$ и $N=(11,0)$. Пусть центр окружности имеет координаты $O=(10,y)$, так как он равноудалён от точек $M$ и $N$.
$$R^2=OM^2=(10-9)^2+y^2=1+y^2$$Обозначим $\alpha=\angle BAC$. Из условия $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$ получаем $\sin\alpha=\dfrac{5}{6}$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
Расстояние от точки $O=(10,y)$ до прямой $AB$ равно $|10\sin\alpha-y\cos\alpha|$. Так как окружность касается этой прямой, данное расстояние равно радиусу.
$$(10\sin\alpha-y\cos\alpha)^2=1+y^2$$Подставим значения синуса и косинуса угла:
$$\left(10\cdot\frac{5}{6}-y\cdot\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2=1+y^2$$После упрощения получаем квадратное уравнение:
$$25y^2+100\sqrt{11}y-2464=0$$Его корни равны:
$$y_1=\frac{8\sqrt{11}}{5},\qquad y_2=-\frac{28\sqrt{11}}{5}$$Для точки касания на луче $AB$ проекция центра на направление луча должна иметь положительную координату. При $y_1$ это условие выполняется, а при $y_2$ точка касания оказывается на продолжении луча в противоположную сторону. Поэтому выбираем $y=\dfrac{8\sqrt{11}}{5}$.
$$R=\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+\frac{704}{25}}=\sqrt{\frac{729}{25}}=\frac{27}{5}$$Радиус окружности равен $\dfrac{27}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не проверяют, лежит ли точка касания именно на луче $AB$, а не на его продолжении.
Ошибочно считают, что центр окружности находится на стороне $AC$.
Используют только условие касания к прямой и не отбрасывают второй корень.