Радиус окружности, касательной к лучу
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $11$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Удобно ввести координаты: расположите точку $A$ в начале координат, а сторону $AC$ — на оси абсцисс.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Центр окружности, проходящей через точки с координатами $(9,0)$ и $(11,0)$, лежит на прямой $x=10$. Используйте условие равенства расстояния от центра до луча $AB$ радиусу окружности.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются два возможных центра, но один из них даёт точку касания на продолжении луча $AB$, а не на самом луче. Для допустимого центра радиус равен $\dfrac{27}{5}$.