Перпендикуляр к радиусу окружности
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 28$, $AC = 56$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике известны длины сторон , , точка центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону в точке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте тот факт, что $OA = OB = OC$, и рассмотрите проекции точек $B$ и $C$ на направление $AO$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из равенства расстояний до центра окружности следует: $2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} = AB^2$ и $2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} = AC^2$. Так как $BD \perp AO$, проекции точек $B$ и $D$ на прямую $AO$ совпадают.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $AD = x$, то $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{28^2}{56^2} = \dfrac14$. Поэтому $AD = 14$, а $CD = 56 - 14$.