Решение: Перпендикуляр к радиусу окружности
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 28$, $AC = 56$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
7 шаговПоскольку $O$ — центр описанной окружности, имеем $OA = OB = OC$. Из равенства $OA^2 = OB^2$ получаем
$$OA^2 = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})^2 \Rightarrow 2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2 = 0$$Аналогично из равенства $OA^2 = OC^2$ следует
$$2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2 = 0$$Так как $BD \perp AO$, отрезок $BD$ не изменяет проекцию точки $B$ на прямую $AO$. Поэтому проекции векторов $AB$ и $AD$ на направление $AO$ совпадают:
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}$$Точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AC}$ сонаправлены. Обозначим $AD = x$. Тогда
$$\overrightarrow{AD} = \frac{x}{AC}\overrightarrow{AC}$$Подставляя это в равенство проекций и используя полученные соотношения, находим
$$\frac{x}{AC}\cdot AC^2 = AB^2$$Следовательно,
$$x = AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{28^2}{56} = 14$$Тогда длина искомого отрезка равна
$$CD = AC - AD = 56 - 14 = 42$$42
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать условие $BD \perp AO$ с перпендикулярностью к стороне $AC$.
Использовать отношение $AB:AC$ вместо отношения квадратов длин $AB^2:AC^2$.
Найти $AD = 14$, но записать его как ответ вместо $CD$.