Решение: Площадь параллелограмма по радиусу
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $15$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
6 шаговРасстояние от точки $O$ до прямой $AC$ равно радиусу вписанной окружности, поэтому $r=7$. Обозначим через $\alpha$ половину угла $A$ треугольника $ABC$.
$$AO=\frac{r}{\sin\alpha},\qquad \sin\alpha=\frac{7}{25},\qquad \cos\alpha=\frac{24}{25}$$Поскольку $AD\parallel BC$, угол между $AO$ и $AD$ равен $\alpha+\angle B$. По условию расстояние от $O$ до $AD$ равно $15$.
$$25\sin(\alpha+B)=15,\qquad \sin(\alpha+B)=\frac35$$Из найденных значений получаем $\sin B=\frac{51}{125}$ и $\cos B=\frac{117}{125}$. Поэтому
$$\cot\frac B2=\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{242}{51}$$Также $\cot\frac A2=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{24}{7}$. Так как $C=180^\circ-A-B$, вычисление половины третьего угла даёт
$$\cot\frac C2=\frac38$$Полупериметр треугольника выражается через радиус вписанной окружности и половины углов:
$$s=r\left(\cot\frac A2+\cot\frac B2+\cot\frac C2\right)=7\left(\frac{24}{7}+\frac{242}{51}+\frac38\right)$$Площадь треугольника $ABC$ равна $rs$, а диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника.
$$S_{ABCD}=2rs=14\cdot7\left(\frac{24}{7}+\frac{242}{51}+\frac38\right)=\frac{170905}{204}$$S_{ABCD}=\dfrac{170905}{204}\approx 837{,}77
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать радиус вписанной окружности с расстоянием $AO$.
Использовать расстояние от $O$ до $AD$ как радиус окружности.
Забыть, что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника $ABC$.
Использовать формулу площади треугольника $rs$ без нахождения полупериметра.